§ 106. Задача о сильном взрыве

Рассмотрим распространение сферической ударной волны большой мощности, возникшей в результате сильного взрыва, т. е. мгновенного выделения в некотором небольшом объеме большого количества энергии (которую обозначим посредством газ, в котором волна распространяется, будем считать политропным.

Мы будем рассматривать волну на расстояниях, не слишком далёких от источника, в той области, где волна обладает еще большой интенсивностью. В то же время эти расстояния предполагаются большими по сравнению с размерами источника: это дает возможность считать, что выделение энергии Е произошло в одной точке (в начале координат).

Большая интенсивность ударной волны означает, что скачок давления в ней очень велик. Мы будем считать, что давление позади разрыва настолько велико по сравнению с давлением невозмущенного газа впереди него, что

Это дает возможность везде пренебрегать по сравнению с причем отношение плотностей будет равно своему предельному значению () (см. § 89).

Таким образом, вся картина движения газа будет определяться всего двумя параметрами: начальной плотностью газа и выделяющейся при взрыве энергией Е. Из этих параметров и двух независимых неременных — времени t и координаты (расстояния от центра) можно составить всего одну независимую безразмерную комбинацию, которую мы напишем в виде

В результате все движение будет обладать определенной автомодельностью.

Прежде всего можно утверждать, что положение самой ударной волны в каждый момент времени должно соответствовать определенному постоянному значению указанной безразмерной комбинации. Тем самым сразу определяется закон перемещения ударной волны со временем; обозначив расстояние волны от центра посредством R, имеем

где — числовая постоянная (зависящая от у), которая сама определится в результате решения уравнений движения. Ско» рость распространения ударной волны (скорость относительно невозмущенного газа, т. е. относительно неподвижной системы координат):

Таким образом, в рассматриваемой задаче закон движения ударной волны определяется (с точностью до постоянного множителя) уже из простых соображений размерности.

Давление плотность и скорость газа (относительно неподвижной системы координат) на «задней» стороне разрыва могут быть выражены через по полученным в § 89 формулам. Согласно (89,10-11) имеем:

Плотность остается постоянной во времени, а и убывают соответственно как и Отметим также, что создаваемое ударной волной давление растет с увеличением полной энергии взрыва как

Перейдем, далее, к определению движения газа во всей области за ударной волной. Введем вместо скорости v, плотности газа и квадрата скорости звука в нем (который заменит собой переменную — давление) безразмерные переменные V, G, Z, определив их посредством 2)

(106,4)

Величины V, G, Z могут быть функциями только одной безразмерной независимой «автомодельной» переменной, которую определим как

В соответствии с (106,3), на поверхности разрыва (т. е. при ) они должны принимать значения

Уравнения центрально-симметричного адиабатического движения газа гласят:

Последнее уравнение есть уравнение сохранения энтропии, в которое подставлено выражение (83,12) для энтропии политропного газа. После подстановки выражений (106,4) получается система уравнений в полных производных для функций V, G, Z. Интегрирование этой системы облегчается тем, что один из ее интегралов может быть написан непосредственно из следующих соображений.

Тот факт, что мы пренебрегаем давлением невозмущенного газа, означает, другими словами, что мы пренебрегаем первоначальной энергией газа по сравнению с энергией Е, приобретаемой им в результате взрыва. Поэтому ясно, что полная энергия газа внутри ограниченной ударной волной сферы постоянна (и равна Е). Более того, ввиду автомодельности движения очевидно, что должна оставаться неизменной энергия газа и внутри любой сферы меньшего радиуса, расширяющейся со временем по закону с любым (а не только равным ) значением ; радиальная скорость перемещения точек этой сферы равна

Легко написать уравнение, выражающее это постоянство энергии. С одной стороны, в течение времени через поверхность сферы (площади ) уходит энергия

С другой стороны, за это же время объем сферы увеличивается на элемент внутри которого заключен газ с энергией

Приравняв эти два выражения друг другу, подставив и w из (83, 10—11) и введя безразмерные функции согласно (106,4), получим соотношение

(106,8)

которое и является искомым интегралом системы уравнений. Он автоматически удовлетворяет граничным условиям (106,6).

После установления интеграла (106,8) интегрирование системы уравнений элементарно, хотя и громоздко. Второе и третье из уравнений (106,7) дают

(106,9)

Из этих двух уравнений а помощью соотношения (106,8) выражаем производные в виде функций только от V, после чего интегрирование с учетом граничных условий (106,6) приводит к следующим результатам:

Формулы (106,8), (106,10) дают полное решение поставленной задачи. Постоянная , входящая в определение независимой переменной пределяется условием

выражающим равенство полной энергии газа энергии взрыва Е. После введения безразмерных величин это условие принимает вид

Так, для воздуха оказывается .

Из формул (106,10) легко видеть, что при функция V стремится к постоянному пределу, а функция G — к нулю по законам

Отсюда следует, что отношения как функции отношения стремятся при к нулю по законам

(106,12)

отношение же давлений стремится к постоянному пределу, а отношение температур — соответственно к бесконечности.

На рис. 94 изображены графически величины как функции для воздуха Обращает на себя внимание очень быстрое убывание плотности по направлению внутрь сферы: почти все вещество сконцентрировано в сравнительноузком слое позади фронта ударной волны. Это обстоятельство является естественным следствием того, что по поверхности наибольшего, равного R, радиуса должно быть распределено вещество с шестикратной по сравнению с нормальной плотностью.

Рис. 94