§ 91. Распространение ударной волны по трубе

Рассмотрим распространение ударной волны по среде, заполняющей длинную трубку с переменным сечением. Наша цель состоит при этом в выяснении влияния, оказываемого изменением площади ударной волны на ее скорость (G. В. Whitham, 1958).

Будем считать, что площадь сечения трубки лишь медленно меняется вдоль ее длины (ось х) — мало на расстояниях порядка ширины трубки.

Это дает возможность применить приближение (его называют гидравлическим), которое уже было использовано в § 77: можно считать все величины в потоке постоянными вдоль каждого поперечного сечения трубки, а скорость направленной вдоль ее оси; другими словами, течение рассматривается как квазиодномерное. Такое течение описывается уравнениями

Первое из них — уравнение Эйлера, второе — уравнение адиабатичности, а третье — уравнение непрерывности, представленное в виде (77,1).

Для выяснения интересующего нас вопроса достаточно рассмотреть трубку, в которой изменение площади не только медленно, но и по абсолютной величине остается относительно малым на протяжении всей длины. Тогда будут малы и связанные с непостоянством сечения возмущения потока, и уравнения (91,1-3) могут быть линеаризованы. Наконец, должны быть поставлены начальные условия, исключающие появление каких-либо посторонних возмущений, которые могли бы повлиять на движение ударной волны; нас интересуют только возмущения, связанные с изменением Эта цель будет достигнута, если, принять, что ударная волна первоначально движется с постоянной скоростью по трубе постоянного сечения, и площадь сечения начинает меняться только вправо от некоторой точки (которую примем за

Линеаризованные уравнения (91,1-3) имеют вид

где буквы без индекса обозначают постоянные значения величин в однородном потоке в однородной части трубки, а символ обозначает изменение этих величин в трубке переменного сечения. Умножив первое и третье из этих уравнений соответственно на и сложив затем все три уравнения, напишем следующую их комбинацию:

Общее решение этого уравнения дается суммой общего решения однородного уравнения и частного решения уравнения с правой частью. Первое есть где F — произвольная функция; оно описывает звуковые возмущения, приходящие слева. Но в однородной области, при возмущений нет; поэтому надо положить Таким образом, решение сводится к тегралу неоднородного уравнения:

Ударная волна движется слева направо со скоростью по неподвижной среде с заданными значениями Движение же среды позади ударной волны (среда 2) определяется решением (91,5) во всей области трубки слева от точки, достигнутой разрывом к данному моменту времени. После прохождения волны все величины в каждом сечении трубки остаются постоянными во времени, т. е. равными тем значениям, которые получили в момент прохождения разрыва: давление плотность и скорость (в соответствии с принятыми в этой главе обозначениями, обозначает скорость газа относительно движущейся ударной волны; скорость же его относительно стенок трубки есть тогда ). В этих обозначениях (и снова выделив переменные части этих величин) равенство (91,5) запишем в виде

Все величины можно выразить через одну из них, например, Для этого пишем варьированные соотношения (85,1-2) на разрыве (при заданных ):

невозмущенное значение потока); к ним надо еще присоединить соотношение

где производная берется вдоль адиабаты Гюгонио. Вычисление приводит к следующему окончательному соотношению, связывающему изменение скорости ударной волны относительно неподвижного газа перед ней, с изменением площади сечения трубки:

где снова введено обозначение

Коэффициент при квадратной скобке в (91,7) положителен. Поэтому знак отношения определяется знаком выражения в этой скобке. Для всех устойчивых ударных волн этот знак положителен, так что Но при выполнении какого-либо из условий (90,12-13) гофрировочной неустойчивости выражение в скобках становится отрицательным, так что

Рис. 62

Этот результат дает возможность наглядного истолкования происхождения неустойчивости.

На рис. 62 изображена «гофрированная» поверхность ударной волны, перемещающаяся направо; стрелками схематически показано направление линий тока. При перемещении ударной волны на выдавшихся вперед участках поверхности площадь растет, а на отставших участках уменьшается. При это приводит к замедлению выступивших участков и ускорению отставших, так что поверхность стремится сгладиться. Напротив, при возмущение формы поверхности будет усиливаться: выступающие участки будут уходить все дальше, а отставшие — все более отставать.