§ 103. Характеристики

Данное в § 82 определение характеристик как линий, вдоль которых распространяются (в приближении геометрической акустики) малые возмущения, имеет общее значение, и не ограничено применением к плоскому стационарному сверхзвуковому течению, о котором шла речь в § 82.

Для одномерного нестационарного движения можно ввести характеристики как линии в плоскости угловой коэффициент которых равен скорости распространения малых возмущений относительно неподвижной системы координат. Возмущения, распространяющиеся относительно газа со скоростью звука в положительном или отрицательном направлении оси перемещаются относительно неподвижной системы со скоростью с или . Соответственно дифференциальные уравнения двух семейств характеристик, которые мы будем условно называть характеристиками гласят:

Возмущения же, переносящиеся вместе с веществом газа, «распространяются» в плоскости по характеристикам третьего семейства , для которых

(103,2)

Это — просто «линии тока» в плоскости х, t (ср. конец § 82). Подчеркнем, что для существования характеристик здесь отнюдь не требуется, чтобы движение газа было сверхзвуковым. Выражаемая характеристиками направленность распространения возмущений соответствует здесь просто причинной связи движения в последующие моменты времени с предыдущим движением.

В качестве примера рассмотрим характеристики простой волны. Для волны, распространяющейся в положительном направлении оси имеем согласно (101,5) . Дифференцируя это соотношение, имеем:

С другой стороны, вдоль характеристики имеем сравнивая оба равенства, найдем, что вдоль характеристики Выражение в квадратных скобках не может быть равно нулю тождественно. Поэтому должно быть . Таким образом, мы приходим к выводу, что вдоль каждой из характеристик остается постоянной скорость, а с нею и все остальные величины (в волне, распространяющейся влево, таким же свойством обладают характеристики ). Мы увидим в следующем параграфе, что это обстоятельство не случайно, а органически связано с математической природой простых волн.

Из этого свойства характеристик простой волны можно в свою очередь заключить, что они представляют собой семейство прямых линий в плоскости скорость имеет постоянные значения вдоль прямых . В частности, в автомодельной волне разрежения (простая волна с эти прямые образуют пучок с общей точкой пересечения — началом координат плоскости Ввиду этого свойства автомодельную простую волну называют центрированной.

На рис. 86 изображено семейство характеристик для простой волны разрежения, образующейся при ускоренном выдвигании поршня из трубы. Это есть семейство расходящихся прямых, начинающихся на кривой изображающей движение поршня. Справа от характеристики простирается область покоящегося газа, в которой все характеристики параллельны друг другу.

На рис. 87 дан аналогичный чертеж для простой волны сжатия, образующейся при ускоренном вдвигании поршня в трубу. В этом случае характеристики представляют собой сходящийся пучок прямых, которые в конце концов должны пересечься друг с другом. Поскольку каждая характеристика несет свое постоянное значение и, их пересечение друг с другом означает физически бессмысленную многозначность функции v(x, t). Это — геометрическая интерпретация результата о невозможности неограниченного существования простой волны сжатия и неизбежности возникновения в ней ударной волны, к которому мы пришли уже аналогичным путем в § 101.

Рис. 86

Рис. 87

Геометрическое же истолкование условий (101,12), определяющих время и место образования ударной волны, заключается в следующем. Пересекающееся семейство прямолинейных характеристик имеет огибающую, заканчивающуюся со стороны малых t угловой точкой, которая и определяет первый момент возникновения многозначности. Если уравнения характеристик заданы в параметрическом виде , то положение угловой точки как раз и определяется уравнениями (101,12).

Покажем теперь коротко, каким образом данное нами физическое определение характеристик как линий распространения возмущений соответствует известному из теории дифференциальных уравнений в частных производных чисто математическому аспекту этого понятия.

Рассмотрим уравнение в частных производных вида

линейное по вторым производным (коэффициенты же А, В, С, D могут быть любыми функциями как от независимых переменных так и от неизвестной функции и ее первых производных). Уравнение (103,3) относится к эллиптическому типу, если везде и к гиперболическому, если . В последнем случае уравнение

(103,4)

или

(103,5)

определяет в плоскости x, t два семейства кривых — характеристик (для заданного решения ) уравнения Укажем, что если коэффициенты А, В, С в уравнении являются функциями только от х, t, то характеристики не зависят от конкретного решения уравнения.

Пусть данное течение описывается некоторым решением уравнения (103,3), и наложим на него малое возмущение Это возмущение предполагаем удовлетворяющим условиям, соответствующим геометрической акустике: оно слабо меняет движение мало вместе со своими первыми производными), но сильно меняется на протяжении малых расстояний (вторые производные от относительно велики). Полагая в уравнении получим тогда для уравнение

причем в коэффициентах А, В, С положено Следуя методу, принятому для перехода от волновой к геометрической оптике, пишем в виде где функция (эйконал) — большая величина, и получаем для последней уравнение

Уравнение распространения лучей в геометрической акустике получается приравниванием групповой скорости:

где

Дифференцируя соотношение

получим:

а исключая отсюда с помощью того же соотношения мы снова придем к уравнению (103,5).

Задача

Найти уравнение второго семейства характеристик в центрированной простой волне в политропном газе.

Решение. В центрированной простой волне, распространяющейся в сторону находящегося справа от нее неподвижного газа, имеем:

Характеристики изображаются пучком прямых х = const t. Характеристики же С - определяются уравнением

Интегрируя, находим:

где постоянная интегрирования выбрана так, чтобы характеристика проходила через точку на характеристике граничной между простой волной и областью покоя.

«Линии тока» в плоскости даются уравнением

откуда для характеристик :