§ 108. Теория «мелкой воды»

Замечательную аналогию движению сжимаемого газа представляет движение в поле тяжести несжимаемой жидкости со свободной поверхностью, если глубина слоя жидкости достаточно мала (мала по сравнению с характеристическими размерами задачи, например, по сравнению с размерами неровностей дна водоема). В этом случае поперечной компонентой скорости жид: кости можно пренебречь по сравнению с продольной (вдоль слоя) скоростью, а последнюю можно считать постоянной вдоль толщины слоя. В этом приближении (называемом гидравлическим) жидкость можно рассматривать как «двухмерную» среду, обладающую в каждой точке определенной скоростью v и, кроме того, характеризующуюся в каждой точке значением величины А — толщины слоя.

Соответствующие общие уравнения движения отличаются от уравнений, полученных в § 12, лишь тем, что изменения величин при движении не должны предполагаться малыми, как это делалось в § 12 при изучении длинных гравитационных волн малой амплитуды; в связи с этим в уравнении Эйлера должны быть сохранены члены второго порядка по скорости. В частности, для одномерного движения жидкости в канале, зависящего только одной координаты (и времени), эти уравнения имеют вид

(глубина h предполагается здесь постоянной вдоль ширины канала).

Длинные гравитационные волны представляют собой, с общей точки зрения, малые возмущения движения рассматриваемой системы.

Результаты § 12 показывают, что такие возмущения раслространяются относительно жидкости с конечной скоростью, равной

Эта скорость играет здесь роль скорости звука в газодинамике. Так же, как это было сделано в § 82, мы можем заключить, что если жидкость движется со скоростями (так называемое спокойное течение), то влияние возмущений распространяется на весь поток как вниз, так и вверх по течению. При движении же со скоростями (стремительное течение) влияние возмущений распространяется лишь на определенные области потока вниз по течению.

Давление (отсчитываемое от атмосферного давления на свободной поверхности) меняется по глубине жидкости согласно гидростатическому закону , где — высота гочки над дном. Полезно заметить, что если ввести величины

(108,3)

то уравнения (108,1) примут вид

формально совпадающий с видом уравнений адиабатического течения политропного газа с Это обстоятельство позволяет непосредственно переносить в теорию «мелкой воды» все газодинамические результаты, относящиеся к движению без образования ударных волн. Для последних соотношения в теории мелкой воды отличаются от газодинамических соотношений для идеального газа.

«Ударная волна» в текущей по каналу жидкости представляет собой резкий скачок высоты жидкости h, а с нею и ее скорости v (так называемый прыжок воды). Соотношения между значениями этих величин по обе стороны разрыва можно получить с помощью условий непрерывности потоков массы и импульса жидкости. Плотность потока массы (отнесенная к 1 см ширины канала) есть Плотность же потока импульса получается интегрированием по глубине жидкости и равна

Поэтому условия их непрерывности дают два уравнения:

(108,5)

Эти соотношения устанавливают связь между четырьмя величинами: две из которых могут быть заданы произвольно. Выражая скорости через высоты получим:

(108,6)

Потоки же энергии по обе стороны разрыва неодинаковы; их разность определяет количество энергии, диссипируемой (в 1 с) в разрыве. Плотность потока энергии вдоль канала равна

Воспользовавшись выражениями (108,6), получим для искомой разности

Пусть жидкость движется через разрыв со стороны 1 на сторону 2. Тогда тот факт, что энергия диссипируется, означает, что должно быть и мы приходим к выводу, что

(108,7)

т. е. жидкость движется со стороны меньшей на сторону большей высоты. Из (108,6) можно теперь заключить, что

(108,8)

в полной аналогии с газодинамическими ударными волнами. Неравенства (108,8) можно было бы найти и как необходимое условие устойчивости разрыва, подобно тому как это было сделано в § 88.

Задача

Найти условие устойчивости тангенциального разрыва на мелкой воде — линии, вдоль которой жидкость по обе стороны от нее движется с различными скоростями В. Безденков, О. П. Погуце, 1983).

Решение. Ввиду указанной в тексте аналогии между гидродинамикой мелкой воды и динамикой сжимаемого политропного газа, поставленная задача эквивалентна задаче об устойчивости тангенциального разрыва в сжимаемом газе (задача 1 к § 84). Отличие состоит, однако, в том, что в случае мелкой воды должны рассматриваться возмущения, зависящие лишь от координат в плоскости жидкого слоя (вдоль скорости v и перпендикулярно к ней), но не от координаты z вдоль глубины слоя: приближению мелкой воды отвечают возмущения с длиной волны Поэтому найденная в задаче к § 84 скорость и оказывается теперь границей неустойчивости: разрыв устойчив при — скачок скорости на разрыве). Поскольку плотность и глубина жидкости по обе стороны разрыва одинаковы, то роль звуковой скорости по обе стороны от него играет одна и та же величина так что разрыв устойчив при