Задачи

1. Определить коэффициент затухания длинных гравитационных волн, распространяющихся в канале постоянного сечения; частота предполагается настолько большой, что мало по сравнению с глубиной жидкости в канале и его шириной.

Решение. Основная диссипация энергии будет происходить в пристеночном слое жидкости, где скорость меняется от нуля на самой стенке до значения которое она имеет в волне Средняя диссипация энергии (отнесенная к единице длины канала) равна согласно (24,14)

I — длина той части контура сечения канала, вдоль которой он соприкасается с жидкостью. Средняя же энергия жидкости (тоже отнесенная к единице длины канала) равна (S — площадь сечения жидкости в канале). Коэффициент затухания равен

Так, для канала прямоугольного сечения (ширина а, глубина жидкости h)

2. Определить движение в гравитационной волне на жидкости с большой вязкостью

Решение. Приведенное в тексте вычисление коэффициента затухания применимо только в случаях, когда этот коэффициент мал так чтсс движение можно рассматривать в первом приближении как движение идеальной жидкости. При произвольной вязкости ищем решение уравнений движения

зависящее от t и как и затухающее с по направлению в глубь, жидкости . Получаем:

Граничные условия на поверхности жидкости:

(при ). Во втором из этих условий можно сразу написать вместо Первое же дифференцируем предварительно по t и пишем вместо после чего полагаем Из условия совместности получающихся таким образом двух однородных уравнений для А и В получаем:

Это уравнение определяет зависимость со от волнового вектора k. При <о является комплексной величиной; ее действительная часть определяет частоту колебаний, а мнимая — коэффициент затухания. Физический смысл имеют те из решений уравнения (1), мнимая часть которых отрицательна (соответственно затуханию волны); таковыми являются только два из корней уравнения (2). Если (условие (25,1)), то коэффициент затухания мал и (2) дает приближенно — известный уже нам результат. В противоположном предельном случае уравнение (1) имеет два чисто мнимых корня, соответствующих чисто затухающему апериодическому движению. Один из корней есть

а другой значительно больше (порядка ) и поэтому не интересен (соответствующее ему движение быстро затухает).