Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 83. Стационарный поток сжимаемого газаУже непосредственно из уравнения Бернулли можно получить ряд общих результатов, касающихся произвольного адиабатического стационарного движения сжимаемого газа. Уравнение Бернулли для стационарного движения гласит
где const — величина, постоянная вдоль каждой из линий тока (если же движение потенциально, то const одинакова и для разных йиний тока, т. е. во всем объеме жидкости). Если на одной линии тока есть точка, в которой скорость газа равна нулю, то можно написать уравнение Бернулли в виде
где Уравнение сохранения энтропии при стационарном движении сводится к
Из уравнения (83,1) видно, что скорость v больше в тех местах, где тепловая функция w меньше. Максимальное (вдоль данной линии тока) значение скорость имеет в точке, в которой w минимально. Но при постоянной энтропии имеем Наименьшее возможное значение давление и тепловая функция получают (при адиабатическом процессе) при равной нулю абсолютной температуре
Эта скорость может достигаться при стационарном вытекании газа в вакуум). Выясним теперь характер изменения вдоль линии тока плотности потока жидкости
между дифференциалами
и затем:
Отсюда видно, что по мере возрастания скорости вдоль линии тока плотность потока возрастает до тех пор, пока скорость остается дозвуковой. В области же сверхзвукового движения плотность потока падает с увеличением скорости и обращается в нуль вместе с В дозвуковом потоке линии тока сближаются друг с другом в направлении увеличения скорости. При сверхзвуковом же движении линии тока расходятся по мере увеличения скорости. Поток
где буквы с индексом показывают значения соответствующих величин в этой точке. Скорость
Рис. 52 В общем случае произвольного газа критические значения величин могут быть выражены через значения величин в точке с
Очевидно, что всякий раз, когда число В применениях общих уравнений гидродинамики особое место занимает термодинамически идеальный газ. Говоря о таком газе, мы будем всегда (за исключением только особо оговоренных случаев) считать, что его теплоемкость является постоянной величиной, не зависящей от температуры (в интересующей нас температурной области). Такой газ часто называют политропным; мы будем пользоваться этим термином, имея в виду подчеркнуть каждый раз, что речь идет о предположении, идущем гораздо дальше термодинамической идеальности. Для политропного газа известны все соотношения между термодинамическими величинами, выражающиеся к тому же весьма простыми формулами; это часто дает возможность до конца решать уравнения гидродинамики. Выпишем здесь, для справок, эти соотношения, которыми нам неоднократно придется пользоваться в дальнейшем. Уравнение состояния термодинамически идеального газа гласит
где
где введено отношение теплоемкостей
Это отношение всегда больше единицы, а для политропного газа оно постоянно. Для одноатомных газов Внутренняя энергия политропного газа с точностью до несу щественной аддитивной постоянной равна
Для тепловой функции имеют место аналогичные формулы
Здесь учтено известное соотношение
Вернемся к изучению стационарного движения и применим полученные выше общие соотношения к политропному газу. Подставив (83,11) в (83,3), найдем, что максимальная скорость стационарного вытекания равна
Для критической же скорости из второго уравнения (83,7) получим:
откуда
Уравнение Бернулли (83,1) после подстановки выражения (83,11) для тепловой функции даст соотношение между температурой и скоростью в произвольной точке линии тока; аналогичные соотношения для давления и плотности можно затем написать с помощью уравнения адиабаты Пуассона:
Таким образом, получим следующие важные формулы:
Иногда удобно пользоваться этими соотношениями в виде, определяющем скорость через другие величины:
Выпишем также соотношение, связывающее скорость звука со скоростью V.
Отсюда найдем, что числа М и М, связаны друг с другом посредством
Когда М растет от 0 до Наконец, приведем выражения для критических значений температуры, давления и плотности; они получаются при
Подчеркнем в заключение, что полученные здесь результаты относятся к движению, при котором не возникают ударные волны. При наличии ударных волн не имеет места уравнение (83,2): при прохождении линии тока через ударную волну энтропия газа возрастает. Мы увидим, однако, что уравнение Бернулли (83,1) остается справедливым и при наличии ударной волны, так как Задача Выразить температуру, давление и плотность вдоль линии тока через число Решение. С помощью полученных в тексте формул получим
|
1 |
Оглавление
|