§ 18. Движение жидкости между вращающимися цилиндрами

Рассмотрим движение жидкости, заключенной между двумя коаксиальными бесконечными цилиндрами, вращающимися вокруг своей оси с угловыми скоростями радиусы цилиндров пусть будут причем . Выберем цилиндрические координаты с осью z по оси цилиндров. Из симметрии очевидно, что

Уравнение Навье — Стокса в цилиндрических координатах дает в рассматриваемом случае два уравнения:

Второе из этих уравнений имеет решения типа ; подстановка решения в таком виде дает , так что

Постоянные а и b находятся из предельных условий, согласно которым скорость жидкости на внутренней и внешней цилиндрических поверхностях должна быть равна скорости соответствующего цилиндра: при при результате получаем распределение скоростей в виде

Распределение давления получается отсюда согласно (18,1) простым интегрированием.

При получается просто т. е. жидкость вращается как целое вместе с цилиндрами. При отсутствии внешнего цилиндра получается

Определим еще момент действующих на цилиндры сил трения. На единицу поверхности внутреннего цилиндра действует сила трения, направленная по касательной к поверхности и равная согласно (15,14) компоненте а тензора напряжений.

С помощью формул (15,17) находим:

Момент этой силы получается отсюда умножением на а полный момент действующий на единицу длины цилиндра — умножением еще на . Таким образом, находим:

Момент сил, действующих на внешний цилиндр, При и малом зазоре между цилиндрами формула (18,4) принимает вид

где — площадь поверхности единицы длины цилиндра, а — ее окружная скорость.

По поводу полученных в этом и предыдущем параграфах решений уравнений движения вязкой жидкости можно сделать следующее общее замечание. Во всех этих случаях нелинейный член тождественно исчезает из уравнений, определяющих распределение скоростей, так что фактически приходится решать линейные уравнения, что крайне облегчает задачу. По этой же причине все эти решения тождественно удовлетворяют также и уравнениям движения идеальной несжимаемой жидкости, написанным, например, в виде (10,2-3). С этим связано то обстоятельство, что формулы (17,1) и (18,3) не содержат вовсе коэффициента вязкости жидкости. Коэффициент вязкости содержится только в таких формулах, как (17,9), которые связывают скорость с градиентом давления в жидкости, поскольку самое наличие градиента давления связано с вязкостью жидкости; идеальная жидкость могла бы течь по трубе и при отсутствии градиента давления.