§ 28. Устойчивость движения по трубе

Совершенно особым характером потери устойчивости обладает стационарное течение жидкости по трубе (рассмотренное в § 17).

Ввиду однородности потока вдоль оси (вдоль длины трубы) невозмущенное распределение скоростей не зависит от координаты . Аналогично изложенному в предыдущем параграфе мы можем поэтому искать решения уравнений (26,4) в виде

И здесь будет существовать такое значение при котором впервые обращается при некотором значении k в нуль. Существенно, однако, что вещественная часть функции теперь уже отнюдь не будет равна нулю.

Для значений R, лишь немного превышающих интервал значений k, в котором мал и расположен вокруг точки, в которой имеет максимум, т. е. (как это ясно из рис. 16). Пусть в некотором участке потока возникает слабое возмущение; оно представляет собой волновой пакет, получающийся путем наложения ряда компонент вида (28,1). С течением времени будут усиливаться те из этих компонент, для которых остальные же компоненты затухнут. Возникающий таким образом усиливающийся волновой пакет будет в то же время «сноситься» вниз по течению со скоростью, равной групповой скорости пакета (§ 67); поскольку речь идет теперь о волнах со значениями волновых векторов в малом интервале вокруг точки, в которой , то величина

вещественна и потому действительно представляет собой истинную скорость распространения пакета.

Этот снос возмущений вниз по течению весьма существен и придает всему явлению потери устойчивости совершенно иной характер по сравнению с тем, который был описан в § 27.

Рис. 16

Поскольку положительность сама по себе означает теперь лишь усиление перемещающегося вниз по течению возмущения, то открываются две возможности. В одном случае, несмотря на перемещение волнового пакета, возмущение неограниченно возрастает со временем в любой фиксированной в пространстве точке потока; такую неустойчивость по отношению к сколь угодно малым возмущениям будем называть абсолютной. В другом же случае пакет сносится гак быстро, что в каждой фиксированной точке пространства возмущение стремится при к нулю; такую неустойчивость будем называть сносовой, или конвективной. Для пуазейлевого течения, по-видимому, имеет место второй случай (см. ниже примечание на с. 150).

Следует сказать, что различие между обоими случаями имеет относительный характер в том смысле, что зависит от выбора системы отсчета, по отношению к которой рассматривается неустойчивость: конвективная в некоторой системе неустойчивость становится абсолютной в системе, движущейся «вместе с пакетом», а абсолютная неустойчивость становится конвективной в системе, достаточно быстро «уходящей» от пакета.

В данном случае, однако, физический смысл этого различия устанавливается существованием выделенной системы отсчета, по отношению к которой и следует рассматривать неустойчивость — системы, в которой покоятся стенки трубы. Более того, поскольку реальные трубы имеют хотя и большую, но конечную длину, возникающее где-либо возмущение может, в принципе, оказаться вынесенным из трубы раньше, чем оно приведет к истинному срыву ламинарного течения.

Поскольку возмущения возрастают с координатой вниз по течению, а не со временем в заданной точке пространства, то при исследовании этого типа неустойчивости разумно поставить вопрос следующим образом. Предположим, что в заданном месте пространства на поток накладывается непрерывно действующее возмущение с определенной частотой и посмотрим, что будет происходить с этим возмущением при его сносе вниз по течению. Обращая функцию со мы найдем, какой волновой вектор к соответствует заданной (вещественной) частоте. Если то множитель возрастает с увеличением т. е. возмущение усиливается. Кривая в плоскости , определяемая уравнением (ее называют кривой нейтральной устойчивости. или просто нейтральной кривой) дает границу устойчивости, разделяя для каждого R области значений частоты возмущений, усиливающихся или затухающих вниз по течению.

Фактическое проведение вычислений чрезвычайно сложно. Полное исследование было произведено аналитическими методами лишь для плоского пуазейлевого течения — течения между двумя параллельными плоскостями Укажем здесь результаты такого исследования.

Течение (невозмущенное) между плоскостями однородно не только вдоль направления своей скорости (ось ), но и во всей плоскости (ось у перпендикулярна плоскостям). Поэтому можно искать решения уравнений (26,4) в виде

с волновым вектором к в произвольном направлении в плоскости . Нас, однако, интересуют лишь те возрастающие возмущения, которые появляются (при увеличении R) первыми; именно они определяют границу устойчивости. Можно показать, что при заданной величине волнового вектора первым становится незатухающим возмущение с к вдоль оси причем

Таким образом, достаточно рассматривать только двумерные (как в основное течение) возмущения в плоскости не зависящие координаты .

Рис. 17

Нейтральная кривая для течения между плоскостями изображена схематически на рис. 17. Заштрихованная область внутри кривой — область неустойчивости. Наименьшее значение R, при котором появляются незатухающие возмущения, оказывается равным (по более поздним уточненным расчетам, S. A. Orszag, 1971); число Рейнольдса определено здесь как

где — максимальная скорость течения, — половина расстояния между плоскостями, т. е. расстояние, на котором скорость возрастает от нуля до максимума. Значению отвечает волновой вектор возмущения При ветви нейтральной кривой асимптотически приближаются к оси абсцисс по законам

соответственно для верхней и нижней ветвей; при этом на обоих ветвях и k связаны соотношениями вида

Таким образом, для всякой отличной от нуля частоты , не превышающей определенного максимального значения существует конечный интервал значений R, в котором возмущения усиливаются. Интересно, что малая, но конечная вязкость жидкости оказывает в данном случае в известном смысле дестабилизирующее влияние на устойчивость по сравнению с тем, что имело бы место для строго идеальной жидкости.

Действительно, при возмущения со всякой частотой затухают; при введении же конечной вязкости мы в конце концоа попадем в область неустойчивости, пока дальнейшее увеличение вязкости (уменьшение R) не выведет снова из этой области.

Для течения в трубе кругового сечения полное теоретическое исследование устойчивости еще отсутствует, но имеющиеся результаты дают веские основания полагать, что это движение устойчиво по отношению к бесконечно малым возмущениям (как в абсолютном, так и в конвективном смысле) при любых числах Рейнольдса. В силу аксиальной симметрии основного течения, возмущения можно искать в виде

(как и в (27,4)). Можно считать доказанным, что осесимметричные возмущения всегда затухают. Среди исследованных неосесимметричных колебаниях (с определенными значениями в определенных интервалах значений числа Рейнольдса) тоже не оказалось незатухающих. На устойчивость течения в трубе указывает и то обстоятельство, что при очень тщательном устранении возмущений у входа в трубу удается поддерживать ламинарное течение до очень больших значений R (фактически его удавалось наблюдать вплоть до где

— диаметр трубы, — скорость жидкости на оси трубы).

Течение между плоскостями и течение в трубе кругового сечения можно рассматривать как предельные случаи течения в трубе кольцевого сечения, т. е. между двумя коаксиальными цилиндрическими поверхностями (радиусов ). При мы возвращаемся к трубе кругового сечения, а пре делу отвечает течение между плоскостями. По-видимому; критическое число существует при всех отличных от нуля значениях отношения а при оно стремится к бесконечности.

Для всех этих пуазейлевых течений существует также критическое число определяющее границу устойчивости по отношению к возмущениям конечной интенсивности. При в трубе вообще не может существовать незатухающего нестационарного движения. Если в каком-либо участке возникает турбулентность, то при турбулентная область, сносясь вниз по течению, в то же время сужается, пока не исчезнет совсем; напротив, при она будет с течением времени расширяться, захватывая все больший участок потока.

Если возмущения течения непрерывно происходят у входа в трубу, то при они непременно затухнут на некотором расстоянии от входа, сколь бы сильны они не были. Напротив, при движение станет турбулентным на всем протяжении трубы, причем для этого достаточны тем более слабые возмущения, чем больше R. В интервале между ламинарное течение метастабильно. Для трубы кругового сечения незатухающая турбулентность наблюдалась уже при а для течения между параллельными плоскостями — начиная с

Ввиду «жесткости» срыва ламинарного течения в трубе, он сопровождается скачкообразным изменением силы сопротивления. При течении по трубе при имеется, по существу, два различных закона сопротивления (зависимости силы сопротивления от R) — один для ламинарного и другой для турбулентного течений (см. ниже § 43). При каком бы значении R ни произошел переход одного в другое, сила сопротивления испытывает скачок.

В заключение этого параграфа сделаем еще следующее замечание. Граница устойчивости (нейтральная кривая), полученная для течения в неограниченно длинной трубе, имеет еще и другой смысл. Рассмотрим течение в трубе очень большой (по сравнению с ее шириной), но конечной длины. Пусть на каждом из ее концов поставлены определенные граничные условия — задан профиль скорости (например, можно представить себе концы трубы закрытыми пористыми стенками, создающими однородный профиль); везде, за исключением концевых отрезков трубы, профиль (невозмущенный) скорости можно считать пуазейлевским, не зависящим от х. Для определенной таким образом конечной системы можно поставить задачу об устойчивости по отношению к бесконечно малым возмущениям (общий метод установления критерия такой устойчивости, которую называют глобальной, описан в IX, § 65). Можно показать, что упомянутая выше нейтральная кривая для бесконечной трубы является в то же время границей глобальной устойчивости в конечной трубе, независимо от конкретных граничных условий на ее концах.