§ 80. Акустическое течение

Одно из самых интересных проявлений влияния вязкости на звуковые волны состоит в возникновении стационарных вихревых течений в стоячем звуковом поле при наличии твердых препятствий или ограничивающих его твердых стенок. Это движение (его называют акустическим течением) появляется во втором приближении по амплитуде волны; его характерная особенность состоит в том, что скорость движения в нем (в пространстве вне тонкого пристеночного слоя) оказывается не зависящей от вязкости, — хотя самим своим возникновением оно обязано именно вязкости (Rayleigh, 1883).

Свойства акустического течения наиболее типичным образом проявляются в условиях, когда характерная длина задачи (размеры препятствий или области движения) малы по сравнению с длиной звуковой волны X, но в то же время велики по сравнению с введенной в § 24 глубиной проникновения вязких волн

Ввиду последнего условия, в области движения можно выделить узкий акустический пограничный слой, в котором происходит падение скорости от ее значения в звуковой волне до нуля на твердой поверхности. Поскольку скорость газа в этом слое (как и в самой звуковой волне) мала по сравнению со скоростью звука, а его характерный размер — толщина S — мал по сравнению с (ср. условие (10,17)), то движение в нем можно рассматривать как несжимаемое.

Рассмотрим акустический пограничный слой у плоской твердой стенки (плоскость ), причем движение будем считать плоским — в плоскости (Н. Schlichting, 1932). Приближения, связанные с малой толщиной пограничного слоя, описаны в § 39 и сохраняют силу для рассматриваемого нестационарного движения. Нестационарность приводит лишь к появлению в уравнении Прандтля (39,5) членов с производными по времени:

(производная выражена через скорость ) течения вне пограничного слоя с помощью уравнения (9,3)). В данном случае

(), что соответствует стоячей плоской звуковой волне с частотой .

Искомую скорость v в пограничном слое выразим через функцию тока согласно

чем автоматически удовлетворяется уравнение непрерывности (39,6).

Будем решать уравнение (80,2) последовательными приближениями по малой величине -амплитуде колебаний скорости газа в звуковой волне. В первом приближении пренебрегаем квадратичными членами полностью. Решение уравнения

удовлетворяющее требуемым условиям при есть

где

Соответствующая функция тока (удовлетворяющая условию ) при эквивалентному условию есть

В следующем приближении пишем и для скорости получаем из (80,2) уравнение

В правой стороне имеются члены с частотами . Последние приводят к появлению в не зависящих от времени членов, которые и описывают интересующее нас стационарное движение; ниже мы будем понимать под только эту часть скорости. Соответствующую часть функции тока пишем в виде

и для функции находим уравнение

где штрихи рзначают дифференцирование по у.

Решение этого уравнения должно удовлетворять условиям эквивалентным требованию на твердой поверхности. Что же касается условий вдали от стенки, то можно лишь потребовать, чтобы скорость стремилась к конечному значению (но не к нулю). Подстановка (80,5) в (80,8) и двукратное интегрирование приводят к следующему результату для производной

При она стремится к значению

чему отвечает скорость

(80,10)

Этот результат демонстрирует указанное в начале параграфа явление. Мы видим, что вне пограничного слоя возникает (во втором приближении по ) стационарное движение, скорость которого не зависит от вязкости. Ее значение (80,10) служит граничным условием при определении акустического течения в основной области движения (см. задачу).

Задача

Определить акустическое течение в пространстве между двумя плоско-параллельными стенками (плоскости ), в котором имеется стоячая звуковая волна (80,3). Расстояние h между плоскостями (играющее роль характерной длины l) удовлетворяет условиям (80,1) (Rayleigh, 1883).

Решение. Ввиду малости скорости искомого стационарного движения по сравнению со скоростью звука, его можно считать несжимаемым. Более того, ввиду предполагаемой сколь угодной малости скорости в звуковой волне (а вместе с ней и скорости в Уравнении движения можно пренебречь квадратичными членами.

Тогда уравнение (15,12) для функции тока сводится к уравнению

(отметим, что оно возникает из члена с вязкостью, но сама вязкость из него выпадает). Ищем в виде (80,7). Ввиду условия производные по у велики по сравнению с производными по пренебрегая последними, получим для функции уравнение

Ввиду очевидной симметрии задачи, течение симметрично относительно плоскости Это значит, что

для чего должно быть

Таким решением уравнения (1) является

Постоянные А и В определяются граничными условиями

В результате находим для функции тока выражение

а из него следующие окончательные формулы для распределения скоростей!

Скорость v меняет знак на расстоянии от стенки.

Описываемое этими формулами течение состоит из двух рядов вихрей, симметрично расположенных относительно серединной плоскости и периодичных вдоль оси с периодом