§ 100. Разрывы в начальных условиях

Одной из важнейших причин возникновения поверхностей разрыва в газе могут являться разрывы в начальных условиях движения. Начальные условия (т. е. начальные распределения скорости, давления и т. п.) могут быть заданы, вообще говоря, произвольным образом. В частности, эти начальные распределения отнюдь не должны быть непременно везде непрерывными функциями и могут испытывать разрывы на некоторых поверхностях. Так, если в некоторый момент времени привести в соприкосновение две массы газа, сжатые до различных давлений, то поверхность их соприкосновения будет поверхностью разрыва в начальном распределении давления.

Существенно, что скачки различных величин в разрывах начальных условий (или, как мы будем говорить, в начальных разрывах) могут быть совершенно произвольными; между ними не должно существовать никаких соотношений. Между тем, мы знаем, что на поверхности разрывов, которые могут существовать в газе в качестве устойчивых образований, должны соблюдаться определенные условия; так, скачки плотности и давления в ударной волне связаны друг с другом ударной адиабатой. Поэтому ясно, что если в начальном разрыве эти необходимые условия не соблюдаются, то в дальнейшем он во всяком случае не сможет продолжать существовать как таковой. Вместо этого начальный разрыв, вообще говоря, распадается на несколько разрывов, каждый из которых является каким-нибудь из возможных типов разрывов (ударная волна, тангенциальный разрыв, слабый разрыв); с течением времени эти возникшие разрывы будут отходить друг от друга.

В течение малого промежутка времени, начиная от начального момента t = 0, разрывы, на которые распадается начальный разрыв, еще не успеют разойтись на большие расстояния друг от друга, и потому вся исследуемая картина движения будет ограничена сравнительно узким объемом, прилегающим к поверхности начального разрыва. Как обычно, достаточно рассматривать в общем случае отдельные участки поверхности начального разрыва, каждый из которых можно считать плоским. Поэтому можно ограничиться рассмотрением плоской поверхности разрыва. Мы выберем эту плоскость в качестве плоскости у, z. Из соображений симметрии очевидно, что разрывы, на которые распадется начальный разрыв при будут тоже плоскими и перпендикулярными к оси Вся картина движения будет зависеть только от одной координаты (и времени), так что задача сводится к одномерной.

Благодаря отсутствию каких бы то ни было характеристических параметров длины и времени, задача автомодельна, и мы можем воспользоваться полученными в предыдущем параграфе результатами.

Разрывы, возникающие при распаде начального разрыва, должны, очевидно, двигаться от места их образования, т. е. от места нахождения начального разрыва. Легко видеть, что при этом в каждую из двух сторон (в положительном и отрицательном направлениях оси ) может двигаться либо одна ударная волна, либо одна пара слабых разрывов, ограничивающих волну разрежения. Действительно, если бы, скажем, в положительном направлении оси распространялись две образовавшиеся в одном и том же месте в момент ударные волны, то передняя из них должна была бы двигаться со скоростью большей, чем скорость задней волны. Между тем согласно общим свойствам ударных волн первая должна двигаться относительно остающегося за ней газа со скоростью, меньшей скорости звука с в этом газе, а вторая должна двигаться относительно того же газа со скоростью, превышающей ту же величину с (в области между двумя ударными волнами ), т. е. должна догонять первую. По такой же причине не могут следовать друг за другом в одну и ту же сторону ударная волна и волна разрежения (достаточно заметить, что слабые разрывы движутся относительно газов впереди и позади них со звуковой скоростью). Наконец, две одновременно возникшие волны разрежения не могут разойтись, так как скорость заднего фронта первой равна скорости заднего фронта второй.

Наряду с ударными волнами и волнами разрежения при распаде начального разрыва должен, вообще говоря, возникнуть так же и тангенциальный разрыв. Такой разрыв во всяком случае необходим, если в начальном разрыве испытывали скачок поперечные компоненты скорости Поскольку эти компоненты скорости не меняются ни в ударной волне, ни в волне разрежения, то их скачок будет всегда происходить на тангенциальном разрыве, остающемся на том же месте, где находился начальный разрыв; с каждой стороны от этого разрыва будут оставаться постоянными (в действительности, конечно, благодаря неустойчивости тангенциального разрыва со скачком скорости он, как всегда, с течением времени размоется в турбулентную область).

Тангенциальный разрыв, однако, должен возникнуть даже и в том случае, когда не имеют скачка в начальном разрыве (не ограничивая общности, можно считать в этом случае, что постоянные равны нулю, что и будет подразумеваться ниже). Это показывают следующие соображения. Возникающие в результате распада разрывы должны дать возможность перейти от заданного состояния 1 газа с одной стороны начального разрыва к заданному состоянию 2 с другой стороны.

Состояние газа определяется тремя независимыми величинами, например, Поэтому необходимо иметь в распоряжении три произвольных параметра для того, чтобы посредством некоторого набора разрывов перейти, скажем, от состояния 1 к произвольно заданному состоянию 2. Но мы знаем, что ударная волна (перпендикулярная к направлению потока), распространяющаяся по газу, термодинамическое состояние которого задано, полностью определяется одним параметром (§ 85). То же самое относится к волне разрежения (как видно из формул (99,14-16), при заданном состоянии входящего в волну разрежения газа состояние выходящего газа полностью определится заданием одной из величин в нем).

Рис. 78

С другой стороны, мы видели, что в результате распада в каждую сторону может пойти не более одной волны — ударной или разрежения.

Таким образом, мы будем иметь в нашем распоряжении всего два параметра, что недостаточно.

Возникающий на месте начального разрыва тангенциальный разрыв как раз и представляет этот недостающий третий параметр. На этом разрыве остается непрерывным давление; плотность же (а с ней и температура, энтропия) испытывает скачок. Тангенциальный разрыв неподвижен относительного газа по обеим его сторонам, и потому к нему не относятся использованные выше соображения о взаимном обгоне двух распространяющихся в одном направлении волн.

Газы, находящиеся по обе стороны тангенциального разрыва, не перемешиваются друг с другом, так как движения газа через тангенциальный разрыв нет; во всех перечисленных ниже вариантах эти газы могут быть даже газами различных веществ.

На рис. 78 схематически изображены все возможные типы распада начального разрыва. Сплошной линией изображен ход изменения давления вдоль оси х (изменение плотности изобразилось бы линией такого же характера, с той лишь разницей, что имелся бы скачок также и на тангенциальном разрыве).

Вертикальные отрезки изображают образовавшиеся разрывы, а стрелками указаны направления их распространения и направления движения газа. Система координат выбрана везде та, в которой тангенциальный разрыв покоится; вместе с ним покоится также и газ в прилегающих к нему областях 3, 3. Давления, плотности и скорости газов в крайних слева и справа областях 1 и 2 — это те значения соответствующих величин, которые они имеют в момент времени на обеих сторонах начального разрыва.

В первом случае (который мы условно записываем в виде рис. 78, а) из начального разрыва Н возникают две ударные волны У, распространяющиеся в противоположные стороны, и расположенный между ними тангенциальный разрыв Т. Этот случай осуществляется при столкновении двух масс газа, движущихся с большой скоростью навстречу друг другу.

В случае (рис. 78, б) по одну сторону от тангенциального разрыва распространяется ударная волна, а по другую — волна разрежения Р. Этот случай осуществляется, например, если в начальный момент времени приводятся в соприкосновение две неподвижные друг относительно друга массы газа сжатые до различных давлений. Действительно, из всех четырех случаев, изображенных на рис. 78, только во втором из них газы 1 и 2 движутся в одинаковом направлении и потому может быть

Далее, в третьем случае в обе стороны от тангенциального разрыва распространяются по волне разрежения. Если газы 1 и 2 разлетаются друг от друга с достаточно большой скоростью то в волнах разрежения давление может достичь при своем падении значения нуль. Тогда возникает картина, изображенная на рис. 78, г; между областями 4 и 4 образуется область вакуума 3.

Выведем аналитические условия, определяющие характер распада начального разрыва в зависимости от его параметров. Будем считать во всех случаях, что а положительное направление оси выбираем везде в направлении от области 1 к области 2 (в соответствии с рис. 78).

Имея в виду, что газы по обеим сторонам начального разрыва могут быть газами различных веществ, будем различать их, называя соответственно газами 1 и 2.

1. Распад Если — давление, скорость и удельные объемы в образовавшихся после распада областях 3 и 3, то имеем , а объемы определяются как абсциссы точек с ординатами на ударных адиабатах, проведенных соответственно через точки в качестве исходных.

Поскольку газы в областях в выбранной системе координат неподвижны, то согласно формуле (85,7) можно написать для скоростей направленных соответственно в положительном и отрицательном направлениях оси х:

Наименьшее значение, которое может иметь давление при заданных так, чтобы не противоречить исходному предположению есть Имея также в виду, что разность есть монотонно возрастающая функция находим искомое неравенство

(100,1)

где посредством V обозначен объем, являющийся абсциссой точки с ординатой на ударной адиабате газа 1, проведенной через точку в качестве начальной. Вычислив V по формуле (89,1) (написав в ней V вместо ), получим для политропного газа условие (100,1) в виде

Отметим, что условия (100,1-2), устанавливающие границу возможных значений разности скоростей не зависят, очевидно, от выбора системы координат.

2. Распад Здесь Для скорости газа в области 1 имеем опять:

а полное изменение скорости в волне разрежения 4 равно согласно (99,7)

При заданных значения могут лежать в пределах от до . Заменяя в разности — один раз на , а другой — на получим условие

(100,3)

Здесь V имеет тот же смысл, что и в предыдущем случае; выражение, определяющее верхний предел разности должно вычисляться для газа 1, а нижний предел — для газа 2. Для политропного газа получим:

где — скорость звука в газе 2 в состоянии .

3. Распад Здесь Тем же путем найдем следующее условие осуществления этого случая:

(100,5)

Интеграл в правой стороне неравенства вычисляется для газа 2, а в левой стороне первый интеграл — для газа 1, а второй — для газа 2. Для политропного газа получим:

(100,6)

где

то между волнами разрежения возникает область вакуума (распад ).

К задаче о разрыве в начальных условиях сводятся, в частности, задачи о различных столкновениях плоских поверхностей разрывов. В момент столкновения обе плоскости совпадают и представляют собой некоторый «начальный разрыв», в дальнейшем распадающийся одним из описанных выше способов. Так, в результате столкновения двух ударных волн снова возникают две ударные же волны, расходящиеся от остающегося между ними тангенциального разрыва:

Когда одна ударная волна догоняет другую, возможны два случая:

В обоих случаях вперед продолжает распространяться ударная же волна.

К этой же категории относится задача об отражении и прохождении ударной волны через тангенциальный разрыв (границу двух сред). Здесь возможны два случая:

Прошедшая во вторую среду волна всегда является ударной (см. также задачи к этому параграфу).