§ 117. Характеристики плоского стационарного течения

Некоторые общие свойства характеристик плоского стационарного (сверхзвукового) движения были рассмотрены уже в § 82. Выведем теперь уравнения, определяющие эти линии по заданному решению уравнений движения.

В плоском стационарном сверхзвуковом потоке имеется в общем случае три семейства характеристик. По двум из них (которые мы будем называть характеристиками ) распространяются все малые возмущения, за исключением лишь возмущений энетропии и ротора скорости; последние распространяются по характеристикам третьего семейства Со, совпадающим с линиями тока. Для заданного течения линии тока известны, и вопрос заключается в определении характеристик первых двух семейств.

Направления проходящих через каждую точку плоскости характеристик расположены по обе стороны от проходящей через ту же точку линии тока и образуют с ней угол, равный местному значению угла возмущений а (рис. 51). Обозначим посредством то тангенс угла наклона к оси (угловой коэффициент) линии тока в данной ее точке, а посредством — угловые коэффициенты характеристик . Тогда по формуле сложения тангенсов напишем:

откуда

(верхние знаки относятся везде к , а нижние — к ). Подставив сюда

и произведя сокращения, получим следующее выражение для угловых коэффициентов характеристик:

(117,1)

Если распределение скоростей в потоке известно, то это есть дифференциальное уравнение, определяющее характеристики

Наряду с характеристиками в плоскости у можно рассматривать также и характеристики в плоскости годографа, в особенности полезные при изучении изэнтропического потенциального течения, о котором мы и будем ниже говорить. С математической точки зрения это — характеристики уравнения Чаплыгина (116,8) (принадлежащего при к гиперболическому типу). Следуя известному из математической физики общему методу (см. § 103), с помощью коэффициентов этого уравнения составляем уравнение характеристик:

или

Определяемые этим уравнением характеристики не зависят от конкретного решения уравнения Чаплыгина, что связано с независимостью коэффициентов последнего от Ф. Характеристики в плоскости годографа, являющиеся отображением характеристик в физической плоскости, мы будем условно называть соответственно характеристиками (знаки в (117,2) соответствуют этому условию).

Интегрирование уравнения (117,2) дает соотношения вида . Функции представляют собой величины, остающиеся постоянными соответственно вдоль характеристик (инварианты Римана). Для политропного газа уравнение (117,2) может быть проинтегрировано в явном виде. Нет, однако, необходимости производить эти вычисления заново, так как результат может быть написан заранее с помощью формул (115,3-4). Действительно, согласно общим свойствам простых волн (см. §. 104) зависимость от в простой волне как раз и определяется условием постоянства во всем пространстве одного из инвариантов Римана.

Произвольной постоянной в формулах (115,3) и (115,4) является исключая из этих формул параметр получим:

Характеристики в плоскости годографа представляют собой семейство эпициклоид, заполняющих пространство между двумя окружностями радиусов (рис. 117):

Рис. 117

Для изэнтропического потенциального движения характеристики обладают следующим важным свойством: семейства характеристик ортогональны соответственно характеристикам (предполагается, что оси координат у изображены параллельными осям

Для доказательства этого утверждения исходим из уравнения (114,3) для потенциала плоского течения, имеющего вид

(существенно, что в нем отсутствует свободный член).

Угловые коэффициенты характеристик определяются как корни квадратного уравнения

Рассмотрим выражение в котором дифференциалы скорости берутся вдоль характеристики , а дифференциалы координат — вдоль Имеем тождественно:

Разделив это выражение на получим в качестве коэффициентов при соответственно после чего ясно, что в силу уравнения (117,4) выражение обращается в нуль. Таким образом,

Аналогично получим:

Эти равенства и выражают собой сделанное выше утверждение.