§ 50. Теплопроводность в несжимаемой жидкости

Общее уравнение теплопроводности в форме (49,4) или (49,5) может быть в различных случаях значительно упрощено.

Если скорость движения жидкости мала по сравнению со скоростью звука, то возникающие в результате движения изменения давления настолько малы, что вызываемым ими изменением плотности (и других термодинамических величин) можно пренебречь. Однако неравномерно нагретая жидкость не является все же при этом вполне несжимаемой в том смысле, как это понималось выше. Дело в том, что плотность меняется еще и под влиянием изменения температуры; этим изменением плотности, вообще говоря, нельзя пренебречь, и потому даже при достаточно малых скоростях плотность неравномерно нагретой жидкости все же нельзя считать постоянной. При определении производных от термодинамических величин в этом случае надо, следовательно, считать постоянным давление, а не плотность. Так, имеем:

и поскольку есть теплоемкость при постоянном давлении, то

Уравнение (49,4) принимает вид

Для того чтобы в уравнениях движения неравномерно нагретой жидкости можно было считать плотность постоянной, необходимо (помимо малости отношения скорости жидкости к скорости звука), чтобы имеющиеся в жидкости разности температур были достаточно малы; подчеркнем, что здесь речь идет именно об абсолютных значениях разностей температур, а не о градиенте температуры. Тогда жидкость можно считать несжимаемой в том же смысле, как это подразумевалось раньше; в частности, уравнение непрерывности будет выглядеть просто как . Считая разности температур малыми, мы будем пренебрегать также и температурным изменением величин т. е. будем считать их постоянными. Написав член в том виде, как это сделано в (49,5), мы получим в результате уравнение переноса тепла в несжимаемой жидкости в следующем сравнительнопростом виде:

где — кинематическая вязкость, а вместо введена температуропроводность

В особенности просто выглядит уравнение переноса тепла в неподвижной жидкости, где перенос энергии обязан целиком теплопроводности. Опуская в (50,2) члены, содержащие скорость, получаем просто

Это уравнение называется в математической физике уравнением теплопроводности или уравнением Фурье. Оно может быть выведено, разумеется, и гораздо более простым образом, без помощи общего уравнения переноса тепла в движущейся жидкости. Согласно закону сохранения энергии количество тепла, поглощающееся в некотором объеме в единицу времени, должно быть равно полному потоку тепла, втекающего в этот объем через ограничивающую его поверхность. Как мы знаем, такой закон сохранения может быть выражен в виде уравнения непрерывности для количества тепла. Это уравнение получается приравниванием количества тепла, поглощающегося в единице объема жидкости в единицу времени, дивергенции плотности потока тепла, взятой с обратным знаком.

Первое из них равно здесь должна быть взята теплоемкость так как вдоль неподвижной жидкости давление должно быть, разумеется, постоянным. Приравняв это выражение — , получим как раз уравнение (50,4).

Необходимо отметить, что применимость уравнения теплопроводности (50,4) к жидкостям практически сильно ограничена. Дело в том, что в жидкостях, реально находящихся в поле тяжести, уже малый градиент температуры приводит в большинстве случаев к возникновению заметного движения (так называемая конвекция; см. § 56). Поэтому реально можно иметь дело с неравномерным распределением температуры в неподвижной жидкости, разве только, если градиент температуры направлен противоположно силе тяжести или же если жидкость очень вязкая. Тем не менее, изучение уравнения теплопроводности в форме (50,4) весьма существенно, так как уравнением такого вида описываются процессы теплопроводности в твердых телах. Имея это в виду, мы займемся здесь и в §§ 51, 52 более подробным его исследованием.

Если распределение температуры в неравномерно нагретой неподвижной среде поддерживается (посредством некоторых внешних источников тепла) постоянным во времени, то уравнение теплопроводности принимает вид

(50,5)

Таким образом, стационарное распределение температуры в неподвижной среде описывается уравнением Лапласа. В более общем случае, когда коэффициент к нельзя считать постоянным, вместо (50,5) имеем уравнение

Если в жидкости имеются посторонние источники тепла, то к уравнению теплопроводности должен быть добавлен соответствующий дополнительный член (таким источником тепла может, например, являться нагревание электрическим током). Пусть Q есть количество тепла, выделяемое этими источниками в единице объема жидкости в единицу времени; Q является, вообще говоря, функцией от координат и от времени. Тогда условие баланса тепла, т. е. уравнение теплопроводности, напишется в виде

Напишем граничные условия для уравнения теплопроводности, которые должны иметь место на границе двух сред. Прежде всего, на границе должны быть равными температуры обеих сред:

Кроме того, поток тепла, выходящего из одной среды, должен быть равен потоку, входящему во вторую среду. Выбирая систему координат, в которой данный участок границы покоится, можно написать это условие в виде

для каждого элемента поверхности раздела. Написав

где — производная от Т по направлению нормали к поверхности, получим граничное условие в виде

Если на поверхности раздела имеются посторонние источники тепла, выделяющие количество тепла на единице площади в единицу времени, то вместо условия (50,9) надо написать:

(50,10)

В физических задачах о распределении температуры при наличии источников тепла интенсивность последних обычно сама задается в виде функции температуры. Если функция достаточно быстро возрастает с увеличением Т, то установление стационарного распределения температуры в теле, границы которого поддерживаются при заданных условиях (например, при заданной температуре), может оказаться невозможным. Теплоотвод через внешнюю поверхность тела пропорционален некоторому среднему значению разности температур тела и внешней среды вне зависимости от закона тепловыделения внутри тела. Ясно, что если последнее достаточно быстро возрастает с температурой, то теплоотвод может оказаться недостаточным для осуществления равновесного состояния.

В этих условиях может возникнуть тепловой взрыв: если скорости экзотермической реакции горения достаточно быстро возрастают с температурой, то при невозможности стационарного распределения возникают быстрое нестационарное разогревание вещества и ускорение реакции (Н. Н. Семенов, 1923). Скорость (а с ней и интенсивность выделения тепла) взрывных реакций горения зависит от температуры в основном пропорционально множителю с большой энергией активации U. Для исследования условий возникновения теплового взрыва следует рассматривать ход реакции при сравнительно незначительном разогревании вещества и соответственно этому разложить

Таким образом, задача сводится к исследованию уравнения теплопроводности с объемной интенсивностью источников тепла вида

(50,11)

(Д. А. Франк-Каменецкий, 1939), — см. задачу 1.