Задачи

1. Определить движение жидкости, заполняющей пространство между двумя концентрическими сферами (радиусов ), равномерно вращающимися вокруг различных диаметров с угловыми скоростями (числа Рейнольдса .

Решение. В силу линейности уравнений движение между двумя вращающимися сферами можно рассматривать как наложение двух движений, имеющих место, если одна из сфер покоится, а другая вращается. Положим сначала т. е. вращается только внутренняя сфера. Естественно ожидать, что скорость жидкости в каждой точке будет направлена по касательной к окружности с центром на оси вращения в плоскости, перпендикулярной к этой оси. Но в силу аксиальной симметрии относительно оси вращения давление не может иметь градиента в этом направлении. Поэтому уравнение движения (20,1) приобретает вид

Вектор угловой скорости является аксиальным вектором. Рассуждения, аналогичные произведенным в тексте, показывают, что можно искать скорость в виде

Уравнение движения дает тогда поскольку вектор направлен по радиус-вектору, а произведение не может быть равно нулю при заданном и произвольном , то должно быть так что

Интегрируя, получаем

Постоянные а и b определяются из условий при при где есть скорость точек вращающейся сферы. В результате получим:

Давление в жидкости остается постоянным ). Аналогично получается для случая, когда вращается внешний шар, а внутренний покоится

В общем случае вращения обеих сфер имеем:

Если внешний шар вообще отсутствует т. е. мы имеем просто шар радиуса R, вращающийся в неограниченной жидкости, то

Вычислим момент сил трения, действующих на шар в этом случае. Если выбрать сферические координаты с полярной осью по то

Действующая на единицу поверхности шара сила трения равна

Полный действующий на шар момент сил трения есть

откуда

Если отсутствует внутренний шар, то т. е. жидкость просто вращается как целое вместе со сферой, внутри которой она находится.

2. Определить скорость круглой капли жидкости (с вязкостью ), движущейся под влиянием силы тяжести в жидкости с вязкостью (W. Rybczynski, 1911).

Решение. Пользуемся системой координат, в которой капля покоится. Для жидкости снаружи капли ищем решение уравнения (20,5) опять в виде (20,6), так что скорость имеет вид (20,7). Для жидкости же внутри капли надо искать решение, не обладающее особой точкой при (причем должны оставаться конечными также и вторые производные от определяющие скорость). Таким общим решением является

чему соответствует скорость

На поверхности шара должны быть выполнены следующие условия. Нормальные составляющие скорости вещества вне и внутри капли должны обращаться в нуль:

Касательная компонента скорости должна быть непрерывна:

то же самое должно иметь место для компоненты тензора напряжений:

(условие же равенства компонент тензора напряжений можно не писать — оно определило бы собой искомую скорость и, которую, однако, проще найти, как это сделано ниже). Из указанных четырех условий получаем четыре уравнения для постоянных а, b, А, В, решение которых дает

Для силы сопротивления получаем согласно (20,14а):

При (что соответствует твердому шарику) эта формула переходит в формулу Стокса. В предельном же случае (газовый пузырек) получается т. е. сила сопротивления составляет 2/3 сопротивления твердому шарику.

Приравнивая F действующей на каплю силе тяжести , найдем:

3. Две параллельные плоские круглые пластинки (радиуса R) расположены одна над другой на малом расстоянии друг от друга; пространство между ними заполнено жидкостью. Пластинки сближаются друг с другом с постоянной скоростью и, вытесняя жидкость. Определить испытываемое иластинкамисопротивление (О. Reynolds).

Решение. Выбираем цилиндрические координаты с началом в центре нижней пластинки (которую полагаем неподвижной). Движение жидкости осесимметрично, а ввиду тонкости слоя жидкости в основном радиально причем Поэтому уравнения движения принимают вид

с граничными условиями

( расстояние между пластинками, — внешнее давление). Из уравнений (1) находим:

Интегрируя же уравнение (2) по получим;

откуда

Полная сила сопротивления, действующая на пластинку, равна