Задачи

1. Определить форму жидкой пленки, края которой закреплены на двух рамках, имеющих форму окружностей, центры которых лежат на общей прямой, перпендикулярной к их плоскостям (разрез пленки изображен на рис. 41).

Рис. 41

Решение. Задача сводится к отысканию поверхности минимальной площади, образованной вращением вокруг прямой кривой , имеющей концы в двух заданных точках А и В. Площадь поверхности вращения есть

где Первый интеграл уравнения Эйлера задачи о минимуме такого интеграла (с выражением F, не содержащим z) есть

В данном случае это дает:

откуда находим после интегрирования

таким образом, искомая поверхность является поверхностью, образованной вращением цепной линии (так называемый катеноид). Постоянные должны быть определены так, чтобы кривая проходила через заданные точки А и В. При этом зависит просто от выбора начала координат на оси . Для постоянной же получаются два значения, из которых должно быть выбрано большее (меньшее не соответствует минимуму интеграла).

При увеличении расстояния к между рамками при некотором определенном его значении наступает момент, когда уравнение, определяющее постоянную , перестает иметь вещественные корни.

При больших расстояниях устойчивой является только форма, соответствующая двум пленкам, натянутым на каждую из двух рамок. Так, для двух рамок одинакового радиуса R катеноидная форма становится невозможной при расстоянии h между рамками, равном

2. Определить форму поверхности жидкости, находящейся в поле тяжести и соприкасающейся с одной стороны с вертикальной плоской стенкой. Краевой угол, образуемый жидкостью при соприкосновении с веществом стенки, равен 0 (рис. 42).

Решение. Выбираем оси координат указанным на рис. 42 образом. Плоскость есть плоскость стенки, а есть плоскость поверхности жидкости вдали от стенки. Радиусы кривизны поверхности :

так что уравнение (61,6) приобретает вид

(а — капиллярная постоянная). При должно быть поэтому Первый интеграл получающегося уравнения есть

Из условия на бесконечности при имеем Второе интегрирование дает

Постоянная о должна быть определена так, чтобы на поверхности стенки было или согласно где есть высота поднятия жидкости у самой стенки.

Рис. 42

Рис. 43

3. Определить форму поверхности жидкости, поднявшейся между двумя вертикальными параллельными плоскими пластинками (рис. 43).

Решение! Выбираем плоскость у, z посредине между обеими пластинками, а плоскость х, у — совпадающей с поверхностью жидкости вне пространства между пластинками, вдали от них. В уравнении (1) задачи 2, выражающем условие равновесия и потому справедливом вдоль всей поверхности жидкости (как между, так и вне пластинок), условия при дают опять . В интеграле же (2) уравнения (1) постоянная А различна для функция имеет разрыв). Для пространства между пластинками имеем следующие условия: при должно быть а при , где — краевой угол, Согласно (2) имеем для высот

Интегрируя (2), получаем:

где g — новая переменная, связанная с посредством Этот интеграл — эллиптический и не может быть выражен в элементарных функциях. Постоянная А определяется из условия при откуда

Полученные формулы определяют форму поверхности жидкости в пространстве между пластинками. При d О А стремится к бесконечности. Поэтому при d а имеем:

откуда Высота поднятия жидкости

эта формула может быть получена, разумеется, и элементарным путем.

4. На плоскости горизонтальной твердой поверхности находится (в поле тяжести) тонкий неравномерно нагретый слой жидкости; ее температура является заданной функцией координаты вдоль слоя, причем (благодаря тонкости пленки) ее можно считать не зависящей от координаты z вдоль толщины слоя. Неравномерная нагретость приводит к возникновению стационарного движения жидкости в пленке, в результате чего ее толщина будет меняться вдоль слоя; требуется определить функцию

Решение. Вместе с температурой заданными функциями являются также плотность жидкости и поверхностное натяжение а. Давление в жидкости где — атмосферное давление (давление на свободной поверхности слоя); изменением давления благодаря искривлению поверхности можно пренебречь. Скорость жидкости в тонком слое можно считать направленной везде вдоль оси Уравнение движения гласит:

На твердой поверхности имеем а на свободной поверхности () должно выполняться граничное условие (61,14), которое в данном случае дает

Интегрируя уравнение (1) с этими условиями, получим:

Ввиду стационарности движения полный поток жидкости через поперечное сечениз слоя должен быть равен нулю: Подставляя сюда (2), получим следующее уравнение:

определяющее функцию Интегрируя его, получим:

(3)

Если температура (а с ней и ) лишь мало меняется вдоль слоя жидкости, то можно написать (3) в виде

где U — значение в точке, где .