Задача 98. Линеаризация уравнения Калоджеро
Найти приближенное решение дифференциального уравнения Калоджеро (97.4) в предположении, что 
Решение. В правой части уравнения Калоджеро
или
последний член при малых 
можно отбросить. Таким образом, приближенное решение 
должно удовлетворять линейному уравнению вида
Сравнивая уравнение (98.2) с уравнением для второго борновского приближения
которое легко получается из (97.6), мы находим, что второе борцовское приближение несколько хуже, чем приближение (98.2). В правой части уравнения (98.2) вместо функции фигурирует сама функция 
что эквивалентно включению в уравнение первого члена из третьего борновского приближения (97.6в). Таким образом, линеаризация сразу же приводит к решению, которое в качественном отношении занимает промежуточное положение между вторым и третьим борцовскими приближениями.
Решение уравнения (98.2), удовлетворяющее граничному условию
находится стандартным методом и имеет вид
Разлагая здесь экспоненту по степеням 
мы можем вернуться ко второму борцовскому приближению. Следует подчеркнуть, что приближение (98.4) значительно лучше борновского, так как даже при очень малых значениях 
[или же при очень больших значениях 
как в случае сингулярных потенциалов], когда формулы борновских приближений теряют смысл, мы все еще имеем вполне определенное решение по крайней мере для потенциалов, соответствующих силам отталкивания.
