Задача 4. Классические законы для момента количества движения

Показать, что для пространственных средних классическая связь между моментом количества движения и моментом силы (здесь означает импульс, a F - силу)

имеет место и в квантовой механике.

Решение. Как и в предыдущей задаче, начнем с определения пространственных средних:

Снова предполагается, что волновые функции удовлетворяют уравнениям Шредингера (3.4).

Наше доказательство мы начнем с дифференцирования по времени равенства (4.2):

Преобразуем второе слагаемое с помощью тождества

и учтем, что к первому члену правой части этого тождества в дальнейшем можно применить общую формулу векторного анализа

где Это дает

Избавляясь теперь от с помощью уравнений (3.4), получаем

Так как

то выражение, стоящее в скобках под знаком первого интеграла, является градиентом скалярной функции поэтому этот интеграл, согласно (4.4), исчезает. Выражение, стоящее в скобках под знаком второго интеграла, равно Используя далее тождество

и снова прибегая к помощи формулы (4.4), где окончательно преобразуем второй интеграл к виду

что совпадает, как это и требовалось доказать, с выражением (4.3) для среднего значения момента силы.