Задача 20. Полупроницаемая перегородка в виде «дельта»-образного потенциального барьера

Потенциальную стенку предыдущей задачи с равным успехом можно описать с помощью -функции Дирака, полагая

Докажите это и обсудите обусловленные наличием такой стенки граничные условия.

Решение. Нам нужно решить уравнение Шредингера

Прежде всего мы видим, что и дифференциальное уравнение (20.2), и граничные условия инвариантны относительно инверсии Следовательно, решениями этой задачи, которая определяется дифференциальным уравнением и граничными условиями, могут быть только собственные функции оператора четности (он заменяет х на . В этом можно убедиться следующим образом. Всякую функцию и можно разбить на две части: четную и нечетную поэтому

Если и есть решение нашей задачи, то таковым будет а так как вырождение отсутствует, решение с точностью до мультипликативной постоянной, скажем а, должно быть однозначным. Следовательно,

или

Так как линейно независимы, последнее возможно тогда и только тогда, когда , т. е. когда а

так что четная функция, или же когда так что нечетная функция.

Рассмотрим теперь окрестность вблизи потенциальной стенки. Интегрирование уравнения (20.2) по указанной окрестности [функция и предполагается непрерывной] дает

Другими словами, логарифмическая производная

терпит на стенке разрыв со скачком

Таким образом, довольно трудоемкую предельную процедуру, использованную нами в задаче 19, можно заменить в известной мере искусственным, но очень простым граничным условием на потенциальной стенке. Следует отметить, что мы получили это граничное условие, рассматривая поведение дифференциального уравнения лишь в непосредственной окрестности потенциальной стенки; поэтому оно должно удовлетворяться и в том случае, когда дополнительно имеется какой-либо несингулярный потенциал а также любые граничные условия, наложенные в каком-либо ином месте.

Обратимся теперь к вопросу о собственных функциях. Что касается нелетных решений, то функции обращаются в нуль на потенциальной стенке: Но тогда в силу равенства (20.3) производная не будет иметь никакого скачка и будет непрерывной. Таким образом, оказывается, что наличие перегородки не влияет на нечетные решения, каков бы ни был коэффицент непроницаемости. Это полностью согласуется с результатом, полученным в задаче 19 [см. равенства (19.7а)].

С другой стороны, четные решения по необходимости должны иметь вид, предписываемый равенствами (19.76):

Отсюда

так что в силу условия (20.5)

в согласии с уравнением (19.6а). Таким образом, дальнейшие рассуждения дословно повторяют соответствующие рассуждения задачи 19.