Задача 85. Аномальное рассеяние

Изменим потенциал предыдущей задачи таким образом, чтобы центр сферы был окружен потенциальной ямой:

Вычислить изменение фазы 80, определенной в предыдущей задаче, и проанализировать случай (прежнее значение),

Решение. Рассматриваемый потенциал схематически изображен на фиг. 46. Введем обозначения

смысл которых для энергий, не превышающих порогового значения действительная величина), разъяснен на той же фигуре. В этих обозначениях радиальная волновая функция записывается в виде

Для энергий, превышающих пороговое значение, величина х будет чисто мнимой, ( — действительная величина),

однако формулы (85.2) и (85.3) после указанной формальной замены можно использовать и в этом случае. Рассматриваемая задача отличается от предыдущей наличием дополнительного граничного условия при Следовательно, при она точно переходит в задачу, рассмотренную ранее: формально в этом можно убедиться, положив в формуле (85.3) .

Фиг. 46. Рассеивающий потенциал задачи 85.

Теперь в нашем распоряжении имеется два условия непрерывности логарифмической производной функции (85.3); одно в точке другое в точке Эти условия гласят:

Из соотношения (85.4а) мы находим величину у,

а затем из условия (85.46) — величину 60,

Выражение (85.5) показывает, что при действительно, на что мы уже обращали внимание выше. С точки зрения числовых расчетов выражение (85.5) для у удобнее сразу же подставить в формулу (85.6). Такая подстановка после элементарных преобразований дает

Зависимость фазы рассеяния 80, вычисленной по формуле (85.7) для значений параметров

от показана на фиг. 47. Там же для сравнения изображены результаты, полученные в предыдущей задаче (кривая ), и результаты для случая рассеяния на жесткой сфере радиуса R (прямая линия). Между кривыми мы не видим существенного различия при энергиях, меньших

Фиг. 47. Зависимость фазы от для случая при аномальном рассеянии, которое вызвано потенциальной ямой внутри рассеивающей сферы. Для сравнения приведена фаза рассеяния в отсутствие потенциальной ямы, определенная в предыдущей задаче. Прямая линия получена для рассеяния на жесткой сфере.

Из этого можно сделать вывод, что волна не проникает глубоко внутрь рассеивающей сферы и поэтому потенциальная яма, окружающая ее центр, не оказывает заметного влияния на характер рассеяния. Однако положение дел в корне меняется в интервале энергий где поведение фазовых кривых носит существенно различный характер. Резкий подъем кривой в окрестности точки указывает на наличие резонанса при этой энергии.

Следующие рассуждения позволяют понять причину аномального поведения фазовой кривой Предположим, что значение бесконечно велико. В этом случае мы имели бы дело просто с потенциальной ямой глубиной

в которой были бы принадлежащие связанным состояниям

энергетические уровни, определяемые уравнением

В рассматриваемом числовом примере этому уравнению удовлетворяет значение которому, если вернуться к первоначальной величине будет соответствовать значение т. е. как раз точка фазовой кривой на фиг. 47, указывающая на наличие резонансного уровня.