Задача 36. Приближенные волновые функции

Частица свободно движется по оси х между двумя абсолютно жесткими стенками, расположенными в точках Аппроксимировать волновые функции основного и первого возбужденного состояний простейшими нормированными полиномами, имеющими те же нули, что и точные волновые функции, и сравнить точные значения энергии с приближенными.

Решение. Пусть — точные волновые функции, а соответствующие им точные энергетические уровни двух

рассматриваемых состояний. Тогда (см. задачу 18)

и

Простейшие полиномы с теми же нулями имеют вид

и

Все четыре волновые функции (36.1) — (36.4) нормированы согласно условию

Максимум функции при равен 1 (в единицах у функции максимум расположен в той же точке и равен что лишь на 3% меньше. У функции экстремумы находятся в точках и равны ±1, в то время как экстремумы функции их равны и располагаются в точках , так что согласие по величине здесь еще лучше, но имеется сдвиг в положении.

Энергия во всех рассматриваемых случаях определяется выражением

Для приближенных значений энергий уровней элементарное интегрирование дает

Выбрав в качестве единицы величину можно сравнить численные значения энергий (36.1), (36.2) и (36.5):

В обоих случаях приближенные значения энергий превышают точные. Значения весьма близки друг к другу,

согласие между несколько хуже, но и здесь ошибка не превышает 6%.