Задача 74. Основное состояние мезоатома

Вычислить энергию связи -мезона в -состоянии в поле того же ядра которое рассматривалось в предыдущей задаче.

а) Почему в этом случае нельзя использовать применявшуюся там теорию возмущений?

б) Применить вместо теории возмущений вариационный метод Ритца, взяв в качестве пробной функции выражение вида

в котором считать величину а вариационным параметром.

Решение

а. Масса -мезона в 207 раз больше массы электрона и вместо атомных единиц длины и энергии

мы теперь имеем мюонные единицы

В невозмущенном состоянии (точечное ядро) средние радиусы электронной и -мезонной орбит в соответствующих

единицах в обоих случаях равны С другой стороны, радиус ядра см в атомных единицах равен а в мюонных Таким образом, радиус электронной орбиты примерно в 100 раз превышает радиус ядра, а радиус (-мезонной орбиты равен примерно половине ядерного радиуса. Следовательно, (-мезон находится главным образом внутри, а электрон — вне ядра, поэтому (-мезонная волновая функция определяется осцилляторным потенциалом внутри ядра, а электронная волновая функция — кулоновским потенциалом вне ядра.

Эти геометрические различия отражаются и на значениях энергии. Отношение равное для электрона [согласно формуле (73.8)] в случае (х-мезона будет равно следовательно, в этом последнем случае "возмущающая" энергия не является малой по сравнению с энергией невозмущенного состояния, более того, она значительно превосходит ее.

б. Внутри ядра имеется осцилляторный потенциал

для которого волновая функция основного состояния (см. задачу 65) имеет вид

где

а соответствующая энергия равна

Приближенно решение (74.4а) должно быть верным при малых значениях для которых его можно разложить в ряд

С другой стороны, при больших значениях истинный потенциал стремится к нулю, а не к бесконечности, что имеет место в случае потенциала (74.3), поэтому поведение истинной волновой функции будет определяться множителем

и она будет убывать значительно медленнее, чем функция (74.4а).

Разложение пробной функции (74.1) имеет теперь вид

сравнение этого выражения с разложением (74.5) позволяет ожидать для значение, близкое к Кроме того, пробная функция в отличие от (74.6) асимптотически ведет себя как что гораздо больше похоже на поведение истинной функции, чем поведение функции (74.4а), но хорошего результата от пробной функции можно, разумеется, ожидать только в том случае, если а

В мюонных единицах, как следует из формул (74.46) и (74.4в), и, следовательно, в соответствии с Если для того, чтобы отождествить функции (74.4а) и (74.1) при малых значениях мы положим то в принятых единицах будет равно 44,5, что не так уж сильно отличается от Таким образом, у нас есть все основания ожидать, что пробная функция (74.1) обеспечивает хорошее описание реальной ситуации.

Заметим здесь же, что использованная далее вариационная процедура приводит к следующим значениям: а

Перейдем теперь непосредственно к приближенному вычислению энергии основного состояния, при этом мы всюду будем пользоваться мюонными единицами Нормируя функцию (74.1), получаем

Вычисление среднего значения кинетической энергии дает

Что же касается вычисления среднего значения потенциальной энергии

то оно оказывается несколько более затруднительным. Однако, если перейти к безразмерным величинам

и воспользоваться известной из анализа формулой

то это вычисление по существу становится элементарным. Окончательный результат можно представить в форме

где

Условие Ритца,

приводит к уравнению для определения К

где

Для значения из уравнения (74.12) мы получаем, что Этому соответствует минимизированное значение энергии мюонных единиц или

Замечание. Более детально эта задача, а также некоторые имеющиеся здесь тонкие эффекты рассмотрены Флюгге и Цикендратом [Fliigge S., Zickendraht W., Zs. Phys., 143, 1 (1955)]. (Полезные сведения по данному кругу вопросов можно найти в обзорной статье Д. Д. Иваненко и Г. Е. Пустовалова [УФН, 61, 27 (1957)]. — Прим. ред.)