Задача 110. Формула Резерфорда

Решить задачу о рассеянии точечного заряда в кулоновском поле другого точечного заряда, воспользовавшись параболическими координатами.

Решение. Запишем уравнение Шредингера

воспользовавшись стандартными обозначениями:

где величины точечных зарядов, — масса рассеиваемых частиц, их скорость на бесконечности. Задача обладает очевидной симметрией относительно поворотов вокруг оси поэтому решение зависит лишь от координат, характеризующих положение частицы в меридиональной плоскости, таких, скажем, как и или же если пользоваться параболическими координатами, то от

В целесообразности применения этих координат нетрудно убедиться, вспомнив, как выглядит формула Резерфорда. Если отвлечься от фазового множителя, то асимптотика решения, приводящего к формуле Резерфорда, должна иметь вид

Отсюда следует, что имеется надежда с помощью разделения переменных

свести задачу к нахождению функции, зависящей только от одной переменной

Подставляя выражение (110.4) в уравнение Шредингера (110.1), получаем

причем на функцию пока еще не наложено никаких специальных ограничений. Пользуясь определениями (110.3) и опуская

производные по переменным можно написать

так что наше дифференциальное уравнение приводится к виду

Это — известное уравнение Куммера, решениями которого являются вырожденные гипергеометрические функции. Решение, регулярное в точке имеет вид

Отсюда для волновой функции и, отвечающей задаче рассеяния, получаем

причем постоянную С еще следует выбрать надлежащим образом. Чтобы убедиться в этом, мы должны найти асимптотику волновой функции (110.7) при больших абсолютных значениях чисто мнимого аргумента Здесь имеется одна небольшая математическая трудность, связанная с тем, что в данном случае мы не можем воспользоваться известным асимптотическим выражением

Дело в том, что приведенная асимптотическая формула для вырожденной гипергеометрической функции справедлива на комплексной плоскости с разрезом вдоль положительной мнимой полуоси. Однако эту трудность легко обойти, если заметить, что к комплексно сопряженной функции и формулу (110.8) можно применять без всяких опасений. Таким образом, имеем

Учитывая далее, что

и что

находим

Произведем в этой формуле комплексное сопряжение и подставим получающийся результат в правую часть равенства (110.7), положив там

Если, кроме того, принять во внимание, что то окончательное выражение для асимптотики волновой функции (110,7) будет иметь вид

где

Мы видим, что рассматриваемое решение действительно имеет стандартную нормировку и отвечает задаче рассеяния. Единственное его отличие от волновых функций, встречавшихся нам в других подобных задачах, — это характерное для кулоновского поля логарифмическое искажение фазы. Зная выражение для амплитуды расходящейся сферической волны, мы можем сразу же написать формулу Резерфорда для дифференциального сечения рассеяния:

Замечание 1. При из формулы (110.7) следует, что поэтому с учетом равенства (110.10) имеем

Пользуясь известными свойствами -функции, последнее выражение можно записать в виде

Для положительных значений и оно всегда меньше единицы, если же то это выражение становится экспоненциально малой величиной. Вспоминая, что

мы, таким образом, видим, что в случае одноименных зарядов вероятность проникновения сквозь потенциальный барьер характеризуется множителем (фактор Гамова), который очень быстро убывает по мере уменьшения энергии рассеиваемой частицы.

Замечание 2. Мы вывели асимптотическую формулу (110.11) в предположении, что где , а не в предположении, что Следовательно,

она выполняется не для точек, расположенных вне сферы а для точек, лежащих вне параболоида

Таким образом, эта формула может оказаться неверной даже для очень больших значений если только значения угла достаточно малы. Однако практически это ограничение не является существенным. В большинстве случаев длина волны не превышает атомных размеров, так что, скажем, см, счетчик же, детектирующий рассеяние частицы, находится от мишени по крайней мере на расстоянии см. Таким образом, Пусть далее тогда формула (110.15) приводит к значению но для таких малых углов вряд ли можно надеяться отделить рассеянный пучок от падающего.