Задача 18. Стоячие волны

Частица заключена между двумя непроницаемыми стенками, расположенными в точках (Стенки служат идеализацией сильного отталкивания, испытываемого частицей при приближении к указанным границам.) Найти собственные состояния и обсудить их свойства.

Решение. Для стационарных состояний мы имеем

Пространственная часть волновой функции удовлетворяет уравнению Шредингера

где

и в самом общем случае имеет вид

Наличие непроницаемых стенок налагает граничные условия

что в сочетании с условием нормировки,

если отвлечься от фазового множителя, выбор которого никогда не регламентируется в квантовой механике, позволяет полностью определить собственные функции.

Подставляя выражение (18.4) в соотношения (18.5), получаем для определения систему двух линейных однородных уравнений:

Эта система допускает нетривиальное решение только в том случае, если ее определитель равен нулю:

Условию (18.7) удовлетворяют лишь собственные значения определяемые формулой

Значение также удовлетворяющее условию (18.7), должно быть исключено как противоречащее условию нормировки (18.6). Из соотношений (18.3) и (18.8) для собственных значений энергии получаем

На основании (18.8) имеем

поэтому

Если — нечетное целое число, то а нормированные волновые функции равны

Если же - четное целое число, то и мы имеем

Так как функции если отвлечься от несущественного изменения знака в формуле (18.106), не зависят от знака то отрицательные значения можно не принимать во внимание, поэтому, например, волновые функции четырех наинизших состояний будут равны

Следует отметить, что собственные функции попеременно то четные нечетное), то нечетные четное) по отношению к инверсии с центром в начале координат.

Фиг. 1. Первые четыре собственные функции в одномерном потенциальном ящике с бесконечными стенками.

Об этом свойстве волновых функций говорят как о четности состояния: в случае симметричной функции мы говорим, что четность положительна, в противном же случае — отрицательна. В принятых обозначениях четность состояния отмечается верхними индексами "+" и "-".

Первые четыре собственные функции изображены на фиг. 1.

Так как пространственные части собственных функций действительны, то результирующий ток вероятности не может существовать ни в одном состоянии. Это является следствием того, что в формуле (18.4) (вспомните рассуждения, приведенные в задаче . Волны с амплитудами в выражении (18.4) дают противоположные вклады в токи и импульсы.

Следовательно, собственные функции гамильтониана, принадлежащие дискретным собственным значениям энергии, не являются собственными функциями оператора импульса

Действительно, дифференцирование функций (18.10а) и (18.106) ведет не к воспроизведению, а к замене синусоидальных решений косинусоидальными. Среднее же значение импульса можно вычислить по формуле

Для всех состояний этот интеграл исчезает, так как подынтегральное выражение является нечетной функцией х. Таким образом, в согласии с обращением в нуль плотности тока вероятности.

Замечание. В математическом отношении это по существу та же самая задача, что и классическая задача о колебаниях струны. Единственное различие заключается в том, что здесь квадратичному закону (18.9) следуют собственные значения энергии, там же ему подчиняются собственные частоты. Классическая энергия колебаний не имеет, однако, никакого аналога в квантовом случае, поскольку она зависит от амплитуды колебаний — последняя же может быть произвольной, в то время как амплитуда волновой функции фиксирована условием нормировки (18.6), т. е. тем обстоятельством, что число частиц равно единице.