Главная > Задачи по квантовой механике. Том 1
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Задача 44. Ион молекулы водорода

Получить приближенное значение энергии диссоциации для реакции взяв электронные волновые функции в виде линейной комбинации функций

где (фиг. 30) — расстояния между электроном и протонами, расположенными на фиксированном расстоянии друг от друга. Параметр у считать вариационным параметром Ритца. Определить

равновесное расстояние между протонами и в дальнейшем учесть нулевую энергию их колебаний.

Решение. Сначала будем считать, что положения двух протонов фиксированы и расстояние между ними равно (приближение Борна — Оппенгеймера). В этом случае уравнение Шредингера для электрона в атомных единицах принимает вид

где — энергия электрона. При этом энергия молекулы для фиксипованного положения ядер будет равна

Фиг. 30.

Мы будем пользоваться вариационным методом, согласно которому последнее выражение должно иметь минимально возможное значение:

при условии

Рассмотрим линейную комбинацию

где функция так же зависит от переменной как функция от переменной . С учетом нормировки наших функций имеем

где через 5 обозначили так называемый интеграл перекрытия. Теперь выражения (44.4) и (44.5) можно записать в более развернутом виде

и

Из соображений симметрии непосредственно очевидно, что имеется два решения — симметричное

и антисимметричное

Симметричное решение принадлежит более низкому энергетическому уровню и, таким образом, соответствует основному состоянию молекулы, поэтому в дальнейшем мы ограничимся рассмотрением соотношений (44.10).

Для нормированных функций определенных соотношениями (44.1), непосредственное вычисление дает

поэтому

Вводя обозначения

и учитывая, что в силу определения (44.7)

после несложных преобразований получаем

и

поэтому

Нам осталось вычислить интегралы Так называемый кулоновский интеграл характеризует кулоновское притяжение между протоном и "облаком" отрицательного заряда, которое окружает протон а и описывается волновой функцией Этот интеграл можно вычислить, воспользовавшись разложением (см. фиг. 30):

Из этого разложения только член с дает вклад в интеграл вычисление которого теперь тривиально:

Интеграл называется обменным интегралом. Он характеризует обменную энергию, являющуюся следствием симметризации собственных функций (замена электрона, находящегося вблизи а, электроном, находящимся вблизи Обменная энергия не имеет классического аналога. Обменный интеграл можно вычислить, перейдя к вытянутым эллипсоидальным координатам с фокусами в точках, где находятся протоны. Для этого надо положить

а в качестве третьей координаты наряду с использовать угол поворота вокруг оси молекулы. В этих координатах элемент объема равен

а область интегрирования определяется неравенствами Такой же способ можно применить и для вычисления интеграла перекрытия 5. Соответствующие результаты имеют вид

и

Если теперь в соответствии с формулой (44.18) записать энергию молекулы то она будет зависеть от двух параметров Для дальнейшего вместо у и в качестве параметров Ритца, минимизирующих энергию, удобнее использовать величины

Подставив в формулу (44.18) вместо 5 выражение (44.21), а вместо и соответственно выражения

и

(все три выражения зависят только от параметра получим

Последнее выражение можно представить в виде

и из соотношения

определить оптимальное значение параметра у. В результате имеем

и, следовательно,

Теперь мы должны определить минимум этого выражения, рассматривая его как функцию переменной

Численные расчеты не представляют труда, хотя и требуют известного времени. Основные результаты таких расчетов приводятся в нижеследующей таблице.

(см. скан)

Минимум можно определить с еще большей степенью точности, чем это следует непосредственно из таблицы, если аппроксимировать энергию параболой, проходящей через три точки и 2,8. Путем интерполяции находим

Таким образом, равновесное расстояние, соответствующее минимуму энергии, равно

а глубина потенциальной ямы составляет

Чтобы найти энергию диссоциации мы должны учесть нулевую энергию колебаний молекулы, соответствующую осцилляторному ядерному потенциалу (44.26), и вычесть из энергии связи молекулы энергию связи атома водорода, которая равна Таким образом

Грубую оценку нулевой энергии колебаний можно получить, ограничившись гармоническим приближением (44.26). Для этого, очевидно, следует положить задачу 30), где приведенная масса колеблющихся протонов. Отсюда получаем так что нулевая энергия колебаний равна

Отсюда для энергии диссоциации окончательно находим Это приближенное значение следует сравнить с экспериментальным значением Такое согласие можно считать хорошим, особенно если учесть, что в нашей теории приближаемой величиной является не энергия диссоциации а глубина потенциальной ямы ; экспериментальное же - значение равно —0,6017, и, следовательно, теоретическое значение содержит ошибку, составляющую всего-навсего 2,6%.

1
Оглавление
email@scask.ru