Задача 123. Расчет кулоновских фаз методом ВКБ

Определить в приближении ВКБ асимптотику парциальных волн в кулоновском поле. Полученные выражения сравнить с точными решениями.

Решение. Пользуясь обозначениями

асимптотическое выражение для точного решения (см. задачу 111) можно записать в виде

где

С другой стороны, метод ВКБ приводит к результату

где

Таким образом, мы должны показать, что формула (123.5) является аппроксимацией точного выражения

в котором величина определяется равенством (123.3). Переходя к новой переменной и полагая

можно написать

где

Учитывая теперь значение неопределенного интеграла

мы после подстановки пределов получаем

Предел нетрудно вычислить, разложив это выражение по степеням Окончательный результат имеет вид

Таким образом, с учетом соотношения (123.6) мы можем сказать, что в приближении ВКБ

Теперь нам осталось сравнить приближенное выражение ВКБ (123.7) с точным выражением (123.3),

В приведенной ниже таблице мы даем несколько числовых значений величины для случая

(см. скан)

Вычисление значений в приближении ВКБ производится непосредственно по формуле (123.7), что же касается вычисления величин определяемых формулой (123.3), то оно выполняется с помощью соотношений

Заметим, что ряд (123.86) быстро сходится при

Из таблицы видно, что результаты находятся в хорошем согласии между собой. В случае когда выражение (123.7) можно разложить в ряд

поэтому разность между этим выражением и точным выражением (123.86) будет примерно равна

С другой стороны, если и то из равенства (123.7) следует

в то время как соответствующее точное выражение в силу (123.8а) можно записать в виде

Разность двух приведенных выражений убывает как Это значит, что при продолжении нашей таблицы мы не получим сколько-нибудь заметных различий между точными и приближенными значениями фаз.