Задача 120. Проблема Кеплера в приближении ВКБ

Определить энергетические уровни частицы в кулоновском поле притяжения

применив метод ВКБ к радиальному волновому уравнению. Решение. Условие квантования

где

- две классические точки поворота, можно применять как при положительных, так и при отрицательных значениях энергии Под подразумевается потенциальная энергия, в которую включен центробежный член, где произведена замена

величины на (см. задачу 121). В нашем случае

С помощью обозначений

выражение (120.3) можно записать в виде

где точки поворота определяются формулами

В этих обозначениях условие квантования приобретает вид

Вычисление интеграла (120.7) можно разбить на три этапа. Сначала с помощью замены переменной интегрирования

квадратичная форма под знаком радикала приводится к диагональному виду. Затем с помощью второй подстановки

подынтегральное выражение приводится к рациональному виду

где

И наконец, последний интеграл берется вычетами. Для этого путь интегрирования следует замкнуть полуокружностью бесконечно большого радиуса, расположенной в верхней полуплоскости комплексной переменной у, и учесть, что полюсы подынтегрального выражения находятся в точках причем последний является полюсом второго порядка. Окончательно получаем

Полагая этот результат, можно записать в виде

После упрощений это дает

Отсюда

или

и, следовательно, в силу равенства (120.4)

Так как то этот результат совпадает с известной точной формулой для собственных значений, причем

есть главное квантовое число.

Замечание. Для получения этого результата весьма существенна сделанная нами замена в центробежном члене величины на Это означает, что центробежный член даже для -состбяний не обращается в нуль. Если бы мы опустили указанный член и пользовались выражением

то в результате у нас получились бы полуцелые квантовые числа . В этом нетрудно убедиться, учтя, что при точки поворота, согласно (120.6), расположены в и что условие квантования (120.8) в данном случае приводит к равенству