Главная > Задачи по квантовой механике. Том 1
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Задача 89. Низкоэнергетическое рассеяние на сферически симметричной прямоугольной яме

Исследовать низкоэнергетическое разложение

в случае сферически симметричной прямоугольной потенциальной ямы радиуса и глубины (фиг. 52):

а) получить формулу (89.1) непосредственно из граничных условий при

б) использовать общую формулу для полученную в предыдущей задаче, применительно к потенциалу рассматриваемого частного вида.

Фиг. 52. Потенциальная яма с обозначениями, используемыми в тексте. Общий множитель не указан.

Решение. Для заданного потенциала имеем, если

и если

Логарифмическая производная волновой функции состояния с нулевой энергией в точке будет равна

а. Запишем логарифмическую производную функции в точке

Так как

то, решая это уравнение относительно получаем

Разложение в ряд по степеням проще всего сделать в два этапа. Сначала, воспользовавшись тем, что разложим

В результате находим

Следует заметить, что равенства (89.6) и (89.7) выполняются для любого потенциала, лишь бы он обращался в нуль при Специальным видом нашего потенциала мы воспользуемся на втором этапе при разложении логарифмической производной в ряд. Введем обозначения:

Тогда первое равенство (89.5) примет вид

где

и, следовательно,

Отсюда получаем

поэтому первое слагаемое в формуле (89.7) можно разбить на два члена: один из них дает вклад в длину рассеяния,

а другой, пропорциональный в эффективный радиус. Во втором слагаемом в формуле (89.7) в нашем приближении мы можем заменить на и в результате получим

Выразим в последней формуле логарифмическую производную через безразмерную величину

Учитывая теперь, что

и приводя подобные члены, получаем

Теперь нам осталось с помощью равенства (89.4) записать окончательное выражение для длины рассеяния. Оно имеет вид

Формулы (89.13) и (89.14) совместно с равенством (89.1) дают полное решение нашей задачи.

б. Общий метод предыдущей задачи не дает никакого иного пути определения длины рассеяния, кроме пути, основанного на использовании равенства (89.4), что приводит непосредственно к формуле (89.14). Однако для вычисления эффективного радиуса уже нет необходимости вводить или если мы с самого начала пользуемся общим выражением (88.10), которое в обозначениях (89.11) принимает вид

где

Постоянная получается элементарным интегрированием, если учесть, что функция в нашем случае определяется равенством (89.2). Мы имеем

и так как

то выражение для можно преобразовать к виду

Подставляя выражение (89.16) в (89.15), легко получаем для эффективного радиуса формулу (89.13).

1
Оглавление
email@scask.ru