Задача 89. Низкоэнергетическое рассеяние на сферически симметричной прямоугольной яме
Исследовать низкоэнергетическое разложение
в случае сферически симметричной прямоугольной потенциальной ямы радиуса 
и глубины 
(фиг. 52):
а) получить формулу (89.1) непосредственно из граничных условий при 
б) использовать общую формулу для 
полученную в предыдущей задаче, применительно к потенциалу рассматриваемого частного вида.
Фиг. 52. Потенциальная яма с обозначениями, используемыми в тексте. Общий множитель 
не указан.
Решение. Для заданного потенциала имеем, если 
и если 
Логарифмическая производная 
волновой функции состояния с нулевой энергией в точке 
будет равна
а. Запишем логарифмическую производную функции в точке 
Так как
то, решая это уравнение относительно 
получаем
Разложение в ряд по степеням 
проще всего сделать в два этапа. Сначала, воспользовавшись тем, что 
разложим
В результате находим
Следует заметить, что равенства (89.6) и (89.7) выполняются для любого потенциала, лишь бы он обращался в нуль при 
Специальным видом нашего потенциала мы воспользуемся на втором этапе при разложении логарифмической производной 
в ряд. Введем обозначения:
Тогда первое равенство (89.5) примет вид
где
и, следовательно,
Отсюда получаем
поэтому первое слагаемое в формуле (89.7) можно разбить на два члена: один из них дает вклад в длину рассеяния,
а другой, пропорциональный 
в эффективный радиус. Во втором слагаемом в формуле (89.7) в нашем приближении мы можем заменить 
на 
и в результате получим
Выразим в последней формуле логарифмическую производную 
через безразмерную величину
Учитывая теперь, что
и приводя подобные члены, получаем
Теперь нам осталось с помощью равенства (89.4) записать окончательное выражение для длины рассеяния. Оно имеет вид
Формулы (89.13) и (89.14) совместно с равенством (89.1) дают полное решение нашей задачи.
б. Общий метод предыдущей задачи не дает никакого иного пути определения длины рассеяния, кроме пути, основанного на использовании равенства (89.4), что приводит непосредственно к формуле (89.14). Однако для вычисления эффективного радиуса уже нет необходимости вводить 
или 
если мы с самого начала пользуемся общим выражением (88.10), которое в обозначениях (89.11) принимает вид
где
Постоянная 
получается элементарным интегрированием, если учесть, что функция 
в нашем случае определяется равенством (89.2). Мы имеем
и так как
то выражение для 
можно преобразовать к виду
Подставляя выражение (89.16) в (89.15), легко получаем для эффективного радиуса формулу (89.13).
