Задача 67. Проблема Кеплера

Решить уравнение Шредингера для связанных состояний электрона в поле бесконечно тяжелого точечного ядра с зарядом мы имеем дело с теорией атома водорода.)

Решение. Введя обозначения

и используя обычный способ разделения переменных

мы приходим к радиальному уравнению Шредингера вида

Это уравнение имеет регулярную особую точку при и существенно особую точку при Вблизи точки оно решается путем разложения в ряд, что приводит к решениям, которые пропорциональны либо либо При его решения ведут себя как Только те решения, которые при малых значениях ведут себя как а при больших значениях как можно нормировать в соответствии с условием

Таким образом, мы должны положить

Если теперь вместо ввести безразмерную переменную

то придем к дифференциальному уравнению

которое представляет собой уравнение Куммера. Нам необходимо рассмотреть только одно решение этого уравнения, а именно

так как только оно регулярно в начале координат, а о граничном условии мы уже позаботились, введя посредством формулы (67.5) новую неизвестную функцию. При больших значениях z вырожденная гипергеометрическая функция (67.8) ведет себя как что находится в противоречии с условием нормировки. Противоречие не возникает лишь в том случае, когда она вырождается в полином, т. е. когда

Так как величина х в силу (67.1) связана с энергией, то уравнение (67.9) определяет искомые собственные значения. Если ввести главное квантовое число

то мы получим или

Энергетические уровни вырождены, так как каждому из них при принадлежит несколько собственных функций:

различающихся значениями орбитального квантового числа и магнитного квантового числа

Таким образом, для каждого значения всего имеется

собственных функций. Только основное состояние с квантовыми числами оказывается невырожденным.

Радиальные части волновых функций, нормированные в

соответствии с условием (67.4) для значений и 3, приведены в таблице на стр. 183. Следует иметь в виду, что в ней мы пользуемся атомными единицами поэтому

Графики некоторых функций приведены на фиг. 38.

Фиг. 38. Функции описывающие радиальную плотность вероятности в случае атома водорода.

Кроме того, мы даем сводку явных выражений сферических функций, нормированных согласно условию

Замечание. Относительно взаимного движения ядра и электрона около их общего центра масс см. задачу 150. Вопросы тонкой структуры и релятивистские эффекты разобраны в задачах 202 и 203. Теория строения атомов с двумя и более электронами, основанная на водородоподобных волновых функциях, рассматривается в задаче 154 и ряде следующих за ней задач.

(см. скан)

(см. скан)