Задача 117. Граничное ВКБ-условие Лангера

Рассмотрим потенциал, соответствующий силам отталкивания. В классической точке поворота решение ВКБ имеет особенность, что не позволяет сформулировать граничное условие. Эту. трудность можно обойти следующим образом. Заменим дифференциальное уравнение, имеющее в качестве своих точных решений функции ВКБ, другим дифференциальным уравнением, которое, во-первых, согласуется с уравнением Шредингера вблизи

классической точки поворота и, во-вторых, согласуется с дифференциальным уравнением ВКБ во всей остальной области. Эту программу проще осуществить, используя в качестве независимой переменной вместо величину

Решение. Так как в классической точке поворота выражение

обращается в нуль, то функции ВКБ,

имеют сингулярную амплитуду при Нас интересует решение, конечное в точке это позволит нам продолжить осциллирующее решение из области в область где оно должно экспоненциально убывать.

Замену переменной (117.1) нетрудно сделать, заметив, что

После указанной замены радиальное уравнение Шредингера принимает вид

где точкой обозначено дифференцирование по переменной х. С другой стороны, функции ВКБ,

образуют фундаментальную систему решений дифференциального уравнения

где штрих означает дифференцирование по переменной Переходя к переменной х, можно записать это уравнение в виде

Вблизи точки поворота функция становится линейной функцией разности поэтому интеграл (117.1) будет пропорционален Таким образом, имеем

и, следовательно,

поэтому в непосредственной близости от точки поворота должны выполняться равенства

и мы можем при гтагх заменить дифференциальные уравнения (117.4) и (117.7) соответственно уравнениями

и

После подстановки

эти уравнения принимают вид

и

Оба уравнения являются уравнениями Бесселя и имеют соответственно решения

Так как при малых значениях х функция Бесселя пропорциональна то фундаментальные решения ведут себя как т. е. оба конечны в точке Что же касается решений и, то они ведут себя как т. е. одно из них имеет особенность, а другое равно нулю при Это та самая особенность решения ВКБ в классической точке поворота, которая не позволяет сформулировать граничное условие. Ее можно устранить, заменив в уравнении (117.76) член на Другими словами, мы должны к коэффициенту при неизвестной функции в уравнениях (117.76), (117.7а) и (117.7) добавить слагаемое В результате уравнение ВКБ (117.7) изменится лишь в непосредственной близости от точки а во всей остальной области практически останется неизменным. Пусть функция удовлетворяет этому новому дифференциальному уравнению, заменяющему собой уравнение ВКБ (117.7):

Записав решение этого уравнения в форме, аналогичной выражению (117.3) или (117.5):

мы приходим к уравнению

общее решение которого имеет вид

Благодаря соотношению (117.8) это решение не имеет особенностей в точке а от решения ВКБ оно отличается лишь заменой функций функциями которые асимптотически при ведут себя как

Теперь мы можем перейти к формулировке граничного условия. Зная общее решение (117.13) для области где мы должны найти его продолжение в область где

Для малых значений комплексной переменной имеют место равенства

поэтому для чисто мнимых определяемых соотношением (117.15), должно быть

Для действительных положительных значений аргумента так называемые модифицированные функции Бесселя определяемые равенствами

принимают действительные значения. Этим же свойством обладает и модифицированная функция Ханкеля,

асимптотика которой при больших положительных имеет вид

Пользуясь этими математическими сведениями, мы можем записать общее решение (117.13) для значений аргумента следующим образом:

В области потенциального барьера интересующее нас решение должно убывать по мере роста наподобие функции (117.16), поэтому мы должны положить

Таким образом, получаем

Эта формула позволяет зафиксировать относительную фазу решений ВКБ в области Действительно, если теперь вернуться к равенствам (117.14) и (117.13), то в силу соотношения (117.17) получим

или

Этот результат асимптотически согласуется с решением ВКБ (117.3), если там определенным образом зафиксировать относительную фазу.

Замечание. Вопрос о решении вблизи классической точки поворота можно несколько упростить, воспользовавшись функциями Эйри (см. задачу 40).

Литературах задачам 113—115

(см. скан)