Задача 31. Осциллятор в абстрактном гильбертовом пространстве (осциллятор в представлении Фока)
Используя операторы
найти собственные значения энергии гармонического осциллятора и построить соответствующие им собственные векторы, не конкретизируя абстрактное гильбертово пространство состояний.
Решение. Подставляя оператор 
и эрмитово сопрфкенный ему оператор в гамильтониан
получаем
Легко видеть далее, что из канонического перестановочного соотношения 
следует
Равенства (31.3) и (31.4) служат математической основой для построения гильбертова пространства состояний.
Предположим, что существует по крайней мере один кет-вектор 
принадлежащий собственному значению к оператора
этот вектор будем предполагать нормированным:
Если теперь умножить равенство (31.5) на бра-вектор 
то левую часть получающегося равенства
можно преобразовать, воспользовавшись определением эрмитово сопряженного оператора
В результате найдем
Таким образом, величина к, будучи квадратом нормы вектора 
должна быть действительной и положительной:
причем 
только тогда, когда 
Все это справедливо для любого собственного значения, так как в нашем распоряжении пока еще нет способа отличить одно собственное значение от другого.
Собственное значение, отличное от к, можно найти, умножив равенство (31.5) слева на 
и перегруппировав затем сомножители с учетом закона ассоциативности и перестановочного соотношения (31.4):
Таким образом,
или
Поэтому кет-вектор 
является собственным вектором оператора 
и принадлежит собственному значению к— 1. Этот вектор пока еще не нормирован, но, как показывает равенство (31.7),
нормированный собственный вектор должен иметь вид
Такую процедуру можно повторить, и мы получаем убывающую последовательность собственных значений, причем
Для всех 
эти собственные значения отрицательны, что противоречит неравенству (31.8). Противоречие не возникает только в том случае, если собственные значения целочисленные, так как при этом последовательность (31.10) обрывается на векторе 
ввиду того, что, согласно (31.9), 
Возрастающую последовательность собственных значений можно построить путем повторного умножения на оператор Так как
то из равенства (31.5) следует
Здесь снова вектор еще не нормирован:
Следовательно,
и
Подытожим теперь наши результаты. Собственными значениями оператора 
являются целые числа 
Оператор 
как следует из соотношения (31.4), имеет ту же систему собственных векторов, но его собственные значения равны 
Следовательно, для гамильтониана (31.3) справедливо соотношение
Отсюда для энергии осциллятора получаются хорошо известные значения, найденные нами с помощью координатного представления в задаче 30.
Векторы состояний 
не являются собственными векторами операторов 
и однако матрицы этих операторов можно легко построить, взяв векторы 
в качестве координатных векторов гильбертова пространства.
С помощью формул (31.9) и (31.11) соответственно находим
и
Все другие матричные элементы исчезают благодаря ортогональности векторов 
. В этом нетрудно убедиться непосредственной проверкой:
и, следовательно,
поэтому либо 
либо 
Матрицы (31.14) и (31.15) можно записать следующим образом:
Литература
(см. скан)
