Задача 62. Частица внутри непроницаемой сферы

Определить уровни энергии частицы, находящейся в сферически симметричном потенциальном ящике с бесконечными стенками и радиусом

Решение. Уравнение Шредингера допускает разделение переменных, и его решение можно записать в виде

Радиальная волновая функция удовлетворяет уравнению

в интервале 0 и равна нулю всюду вне его. Это уравнение после введения новой переменной и замены

можно привести к виду

Но это есть уравнение Бесселя, решениями которого являются функции Таким образам, общее решение уравнения (62.2) можно записать в виде

Обычно вводят в рассмотрение так называемые сферические функции Бесселя:

с асимптотикой

при больших положительных значениях Вблизи начала координат, когда эти функции аппроксимируются первыми членами соответствующих степенных рядов:

Второе слагаемое в решении (62.3) при дает вклад в Следовательно, чтобы обеспечить существование нормировочного интеграла

необходимо положить в формуле Эти соображения, однако, не применимы к случаю когда сингулярность функции и слишком слабо выражена и не может привести к расходимости интеграла в точке Но и в этом случае мы должны исключить сингулярное решение, так как оно приводит к расходимости в точке интеграла для среднего значения энергии:

(см. также задачу 65). Таким образом, в качестве нормируемого решения мы должны взять

Из этого набора решений собственные функции отбираются путем наложения условия

или

Для каждого фиксированного значения величины функция Бесселя обладает бесконечным числом нулей, поэтому мы получаем бесконечное число значений и бесконечное число энергетических уровней

для каждого значения величины - радиальное квантовое число, определяющее число нулей).

Для низших значений I сферические функции Бесселя имеют

а для более высоких значений I явный вид этих функций легко находится с помощью рекуррентного соотношения

Фиг. 35. Энергетические уровни частицы внутри непроницаемой сферы.

Их нули можно определить, решая несложные трансцендентные уравнения:

Все они стремятся либо к в случае четных либо к в случае нечетных На фиг. 35 показаны нижние энергетические уровни (в единицах ), а значения

параметра

не превышающие 15, приведены в таблице

(см. скан)

Замечание. Эта задача тесно связана с более простой одномерной проблемой, рассмотренной нами в задаче 18. Решения при точно соответствуют антисимметричным волновым функциям для одномерного случая.