Задача 63. Сферически симметричная прямоугольная яма конечной глубины
Для значений 
определить энергетические уровни связанных состояний в сферически симметричной прямоугольной яме
Довести расчеты до численных результатов в том случае, когда характеристический параметр 
Решение. Пусть
тогда радиальное уравнение Шредингера для связанных состояний внутри и вне ямы соответственно будет иметь вид
и
Уравнение (63.3а) с очевидным граничным условием 
имеет своим решением сферическую функцию Бесселя
Решением уравнения (63.36), убывающим при больших значениях 
как 
является сферическая функция Ханкеля мнимого аргумента:
Фигурирующие здесь постоянные 
следует определить, руководствуясь соображениями непрерывности и нормировки. Если записать условие непрерывности логарифмической производной на границе ямы 
то указанные постоянные взаимно сократятся:
Здесь штрих означает производную по соответствующим аргументам. Так как уравнение (63.5) связывает между собой 
то оно тем самым фиксирует нам, согласно формулам (63.2), собственные значения энергии для каждой данной ямы.
Для низших значений 
функции, фигурирующие в уравнении (63.5), имеют следующий вид:
При ббльших значениях 
можно воспользоваться рекуррентными формулами
Если ввести сокращенные обозначения
где 
указанный в условии характеристический параметр, то уравнение (63.5) после элементарных, но довольно длинных выкладок можно привести к виду
и
Значения переменной 
, а тем самым и переменной х, удовлетворяющие этим уравнениям, лроще всего находятся графическим методом.
Фиг. 36. Графическое определение собственных значений в случае сферически симметричной прямоугольной ямы конечной глубины
На фиг. 36 дана функция 
для физической области изменения переменной, в случае 
Ее точки пересечения с функциями 
находятся сначала непосредственно по фигуре, а затем их положение уточняется вплоть до четвертого знака при помощи табулирования рассматриваемых функций в окрестностях точек пересечения. Окончательные результаты для случая 
приведены в нижеследующей таблице. Сюда же для сравнения помещены и соответствующие результаты, относящиеся к сферически симметричному ящику с бесконечными стенками, полученные нами в предыдущей задаче.
(см. скан)
Следует отметить, что в яме конечной глубины положение всех уровней несколько смещено вниз, поэтому нужно ожидать, что в рассматриваемом примере возможно появление связанных состояний, по крайней мере, вплоть до значений 
как это видно из таблицы, приведенной в предыдущей задаче, где значения параметра х даны для больших значений 
Замечание. Эта задача тесно связана с более простой одномерной проблемой, рассмотренной нами в задаче 25. Наши решения при 
точно соответствуют антисимметричным решениям для одномерного случая.
