Главная > Задачи по квантовой механике. Том 1
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Задача 84. Рассеяние на сферически симметричном прямоугольном потенциальном барьере

Дан потенциал при при Для случая найти зависимость фазы рассеяния и парциального сечения от энергии падающих частиц.

Решение. Вводя обозначения

можно записать радиальную волновую функцию следующим образом:

если энергия меньше порогового значения то

если же энергия выше порогового значения то

в последнем случае величина к оказывается чисто мнимой: . У волновой функции вне сферы нормировка во всех случаях одинакова, поэтому амплитуды характеризуют степень возбуждения области, заключенной внутри сферы. Заметим, что приведенные выше выражения уже написаны с учетом граничного условия.

Непрерывность функций в точке предполагает непрерывность логарифмической производной, значение которой при т. е.

можно получить двумя способами, беря для волновой функции выражения, соответственно справедливые либо в области либо в области Таким образом, имеем

и

Только в случае решение во внутренней области оказывается периодическим и выражение для амплитуды А представляет интерес:

Прежде всего обсудим полученные формулы для предельно низких энергий. Когда величину к следует заменить величиной Кроме того, чтобы величина была конечной, аргумент котангенса в правой части равенства (84.4а) должен стремиться к нулю как Таким образом, в этом предельном случае равенство (84.4а) принимает вид

и, следовательно,

Если высота потенциального барьера очень велика (т. е. жесткая сфера), то при всех энергиях мы можем

пренебречь величиной по сравнению с поэтому соотношение и равенство (84.6) будут иметь место для всех энергий. Это означает, что величина фазы растет линейно с ростом параметра как показано на фиг. 43 (прямая линия Кривая 2 на этой же фигуре рассчитана по формулам (84.4а) и (84.46) для численного значения параметра Мы видим, что даже на начальном участке, т. е. вблизи наклон фазовой кривой для потенциального барьера конечной высоты заметно отличается от наклона фазовой кривой в случае рассеяния на жесткой сфере.

Фиг. 43. Зависимость фазы 60 от Прямая линия 1 соответствует случаю жесткой сферы кривая 2 построена для случая Пунктирная линия построена на основании первого борновского приближения. Резонансы (максимумы амплитуды) отмечены кружками, минимумы амплитуды — крестиками.

Это является характерной особенностью квантовой механики, согласно которой частицы могут проникать внутрь потенциальной сферы даже тогда, когда их энергия не превышает порогового значения, причем глубина проникновения зависит от высоты потенциального барьера. В классической механике, где такое проникновение попросту невозможно, высота потенциального барьера не может сказаться на рассеянии частиц, энергия которых меньше пороговой.

Если энергия (или параметр увеличиваясь, начинает превышать высоту потенциального барьера, то фазовая кривая 2 сначала достигает минимума, а затем начинает приближаться к нулю, имея при этом отчетливо выраженный ступенчатый характер. В предельном случае очень больших энергий разумеется, снова так как при потенциальный барьер не является для частиц существенным препятствием. Причину ступенчатого характера фазовой кривой можно понять, вычислив по формуле (84.5) амплитуду А волновой функции во

внутренней области. Для случая результаты этих расчетов показаны на фиг. 44, а. Мы видим, что имеются такие значения такие длины волн стационарного пучка частиц, на которых происходит возбуждение колебаний внутренней части потенциальной сферы и возникают максимумы амплитуды А. Следовательно, существуют такие полосы частот, при которых колебания внутренней области попадают в резонанс с колебаниями, воздействующими на нее извне.

Фиг. 44. а — амплитуда А волновой функции внутри области, занятой барьером в зависимости от энергии. Кривая имеет резонансный характер. б - логарифмическая производная волновой функции Сингулярности соответствуют резонансным значениям энергии.

Между каждой парой резонансов имеются минимумы амплитуды А, где 1; это происходит всякий раз, когда или Каждому такому минимуму амплитуды соответствует нуль логарифмической производной (она показана на фиг. 44, б), поэтому при волновая функция имеет горизонтальную касательную и одну и ту же амплитуду внутри и вне рассеивающей сферы. Между этими значениями энергии вблизи точек т. е. вблизи сингулярностей величины располагаются резонансные энергии. В самих же этих точках волновая функция при обращается в нуль, но ее касательная при переходе через точку не меняет своего наклона, благодаря чему амплитуда во внутренней области с ее более высокими

значениями длин волн достигает наибольшего возможного значения.

Далее, мы знаем общую закономерность всех резонансных явлений — при прохождении через резонанс фаза (в идеальном случае) скачком изменяется на я. Этой закономерностью и объясняется резкий рост фазы между точками, соответствующими минимумам амплитуды (на кривой 2 фиг. 43 они отмечены крестиками, а резонансы — кружками).

Зная фазовую кривую, нетрудно рассчитать зависимость парциального сечения рассеяния

от параметра Результаты этих расчетов представлены на фиг. 45.

Фиг. 45. Зависимость сечения -рассеяния от (в двух различных масштабах). Вкладом высших значений момента I можно пренебречь только при Резонансный максимум вблизи в эксперименте будет выражен по этой причине менее отчетливо.

В низкоэнергетическом пределе, когда фаза , согласно равенству (84.6), становится малой величиной, так что в формуле можно заменить его аргументом:

Величина определенная равенством (84.8), называется длиной рассеяния потенциала. Для нашего числового примера (О роли длины рассеяния см. задачу 88.) По мере роста энергии на виде кривой сечения рассеяния начинают сказываться резонансы, но в нашем примере только первый из них, расположенный вблизи приводит к отчетливо выраженному эффекту. Высшие резонансы почти не заметны на кривой сечения рассеяния. Экспериментальная ситуация в этом отношении еще менее благоприятна, так как здесь приходится иметь дело со все возрастающими вкладами в сечение о от волн с Таким образом, кривая сечения рассеяния содержит не очень много информации.

Замечание. Каким образом фаза рассеяния стремится к нулю при очень больших энергиях, можно выяснить, воспользовавшись первым борновским приближением (см. задачу 105). При имеем

откуда для частного вида потенциала, рассматривавшегося выше, получаем

Рассчитанная по этой формуле фаза рассеяния показана на фиг. 43 пунктирной линией. Для представленной там энергетической области значения фазы рассеяния еще довольно велики, поэтому от борновского приближения не следует ожидать результатов, удовлетворительных в количественном отношении. Замечательно уже то, что даже для этих энергий борновская формула, если отвлечься от смещения резонансов, правильно передает ход фазовой кривой, включая ее ступенеобразный характер; последнее, конечно, объясняется наличием члена с синусом в формуле (84.9).

1
Оглавление
email@scask.ru