Е. Магнитное поле

Задача 125. Введение магнитного поля

Получить выражение для гамильтониана заряженной частицы при наличии магнитного поля и показать, что присутствие в уравнении Шредингера векторного потенциала не противоречит калибровочной инвариантности.

Решение. В классической механике показывается, что при наличии магнитного поля, описываемого вектор-потенциалом А, импульс любой частицы с зарядом заменяется величиной

поэтому нерелятивистская функция Гамильтона имеет вид

где —скалярный потенциал электромагнитного поля, а потенциал, обязанный силам неэлектромагнитного происхождения (например, ядерным силам). Соответствующий этому классическому выражению гамильтониан получается заменой вектора оператором В результате мы получаем обобщенное уравнение Шредингера

где

Так как

то последнее выражение можно упростить:

В классической теории Максвелла, кроме того, показывается, что векторный потенциал А и скалярный потенциал можно подвергнуть одновременному калибровочному преобразованию

где х — произвольная функция координат и времени, при этом напряженности полей

останутся неизменными. Если физические явления определяются напряженностями полей, а не их потенциалами, то эта калибровочная инвариантность должна иметь место и в квантовой теории.

Если мы теперь просто подставим выражения (125.5) в гамильтониан (125.4), то это, разумеется, приведет к появлению целого ряда дополнительных членов, что нарушит калибровочную инвариантность уравнения Шредингера. Имеется единственная возможность избавиться от этих членов: для этого нужно, чтобы сама волновая функция участвовала в калибровочном преобразовании. Так как произведение имеет непосредственный физический смысл, то оно, так же как и напряженности полей, не должно меняться при калибровочном преобразовании. Таким образом, это преобразование должно иметь вид

где а — некоторая функция При этом, очевидно, должно

Подставляя эти выражения в гамильтониан (125.4) и заменяя там потенциалы потенциалами в соответствии с равенствами (125.5), получаем

Последнему выражению после перегруппировки членов можно придать вид

Дополнительные члены, фигурирующие в этом выражении, действительно взаимно сокращаются, если положить

так что в результате мы приходим к равенству

Так как наше преобразование одновременно изменяет и левую часть уравнения Шредингера (125.3)

то последние члены в обеих частях уравнения (125.3) взаимно уничтожаются и оно будет выполняться для штрихованных величин так же, как и для нештрихованных. Этим и доказывается калибровочная инвариантность теории, если волновая функция преобразуется согласно соотношениям (125.7а) и (125.76).