Задача 109. Высокоэнергетическое рассеяние на жесткой сфере

Показать, что сечение рассеяния на жесткой сфере радиусом для очень больших энергий приближается к значению

Решение. Борновское приближение, обычно применяемое в области высоких энергий, становится несостоятельным в случае сингулярных потенциалов, так как фигурирующий в нем интеграл расходится. По этой причине мы вынуждены использовать метод разложения по парциальным волнам, несмотря на то, что сходимость этого метода с ростом энергии ухудшается.

Для любого значения I радиальная волновая функция вне жесткой сферы имеет вид

и должна удовлетворять граничному условию

Таким образом, имеем

и, следовательно, сечение рассеяния будет равно

Если энергия столь велика, что то бесконечную сумму (109.4) можно разбить на две части. Члены суммы, для которых описывают частицы, сталкивающиеся со сферой и соответствующие функции можно заменить их асимптотическими выражениями:

Членам же с в классической картине соответствуют частицы, пролетающие мимо сферы, не сталкиваясь с ней . В этом случае функции можно заменить первыми членами их разложения в степенной ряд. Так как при такой замене

то отношение, фигурирующее в формуле (109.4), оказывается очень малой величиной и всеми этими слагаемыми можно пренебречь. Таким образом, в рассматриваемом приближении можно написать

Конечно, все эти рассуждения теряют силу применительно к тем членам, для которых и где неправомерна ни одна из употребленных нами аппроксимаций функций Однако чем больше величина х и чем больше членов содержит сумма (109.6), тем меньшую роль играет эта небольшая группа членов и тем, следовательно, меньше ошибка нашего приближения в целом.

Преобразуем правую часть равенства (109.6) с помощью тождества

В результате имеем

Обе суммы вычисляются элементарно и соответственно равны

и

Поэтому получаем

Так как наше приближение справедливо лишь при условии то в этой формуле достаточно удержать только основной член. Таким образом, окончательно наша формула принимает вид

что и доказывает утверждение, сформулированное в условии задачи.

Замечание редактора перевода. Может показаться странным, что эффективное сечение рассеяния равно удвоенному геометрическому поперечному сечению. Однако этот эффект хорошо известен в классической волновой оптике и объясняется тем, что рассеянная волна состоит из двух частей одинаковой интенсивности: одна из них соответствует волне, отраженной от препятствия, другая обеспечивает образование тени. Для каждой из них поперечное сечение равно Подробное обсуждение этого вопроса можно найти, например, в монографии: Морс Ф., Фешбах Г., Методы теоретической физики, т. 2, ИЛ, 1960, стр. 354 и далее.