Задача 124. Квазипотенциал

Вместо переменной часто полезно ввести новую переменную

(преобразование Сабатьера). Показать, что выражение для фазы ВКБ можно представить в виде простого интеграла по переменной в котором квазипотенциал

по существу заменяет потенциал Решение. Если ввести величину

(прицельное расстояние), то, согласно формуле (122.2), выражение для фазы ВКБ можно записать в виде

где наибольший корень выражения, стоящего под радикалом в первом интеграле. Некоторое неудобство этой формулы состоит в том, что предел при имеет лишь разность интегралов, сами же интегралы расходятся, а нижние пределы различны.

Эту трудность можно устранить, воспользовавшись преобразованием (124.1), в результате которого первый из интегралов (124.4) приводится к виду

Разумеется, это возможно лишь в том случае, если преобразованию соответствует единственное обратное преобразование т. е. если представляет собой монотонную функцию Подставляя выражение (124.5) в формулу (124.4) и обозначая во втором интеграле переменную через получаем

Последний интеграл еще более упрощается с помощью интегрирования по частям. С учетом тождества

окончательный результат принимает вид

где функция определяется равенством (124.2).

Если то функция лишь немного отличается от потенциала В этом нетрудно убедиться, переписав равенство (124.2) в виде

Отсюда в первом приближении следует, что Заметим, кстати, что нули функции в точности совпадают с нулями функции

Замечание. В работе Сабатьера [Sabatier Р. С., Nuovo Cimento, 37, 1180 (1965)] введено преобразование (124.1). Метод квазипотенциала был развит в работе Вольмера и Крюгера [Vollmer G., KrUger Н., Pb-ys. Lett., 28А, № 2 (1968)]. Дополнительные подробности можно найти в статье Вольмера .