Задача 96. Последовательные приближения для фазы рассеяния
Радиальное уравнение Шредингера для 
-волны формально можно рассматривать как неоднородное дифференциальное уравнение, считая неоднородностью член, содержащий потенциальную энергию. "Решение" этого уравнения представляет собой интегральное уравнение для функции 
и его можно решать методом последовательных приближений. Используя указанную процедуру, найти интегральное выражение для второго приближения к функции 
Решение. Радиальное уравнение Шредингера при 
запишем в виде
Здесь и далее мы опускаем индекс 0 у функций 
и т. д. Рассматривая в этом уравнении правую часть как неоднородность, мы можем выразить его решение через функцию Грина 
которая является решением уравнений
Таким образом, имеем
Функцию Грина в (96.3) можно выбирать различными способами, для дальнейшего ее удобно взять в виде
так как при этом мы сможем удовлетворить граничному условию 
просто положив 
Выбирая далее в качестве условия нормировки, которая не является существенной для определения фаз, условие 
мы приходим к интегральному уравнению Вольтерра
Расписав 
, мы можем представить наше решение 
в виде
где
Обе амплитудные функции 
и 
при 
стремятся к конечным пределам при условии, что потенциал ведет себя как 
где 
в этом предельном случае из (96.6а) следует:
Таким образом, фазу рассеяния 
мы можем определить из соотношения
Выражения (96.66) совместно с соотношением (96.7) дают строгое решение задачи.
Интересующие нас последовательные (борновские) приближения строятся в предположении, что потенциал 
является величиной первого порядка малости. Для удобства выкладок будем временно писать 
вместо 
и разложим функцию 
в ряд по степеням "параметра порядка" 
где индексы, очевидно, означают порядковые номера приближений. Уравнение (96.5) во втором приближении записывается следующим образом:
Отсюда, приравнивая члены одинакового порядка малости, получаем
Здесь 
представляет собой вклад от невозмущенной плоской волны. В первом порядке имеем 
расписывая снова 
так, как это было сделано при получении соотношений (96.6), находим
Таким образом, в первом порядке амплитуду 
можно отождествить с выражением (96.7), так что для фазы рассеяния мы имеем формулу
которая, действительно, совпадает с формулой первого борновского приближения (см. задачу 106). Во втором порядке к приведенным выражениям мы должны добавить функцию 
Это даст
Мы видим, что наше приближение представляет собой разложение по отрицательным степеням 
в соответствии с тем, что борцовский метод применим в области высоких энергий. Наряду с возрастающими отрицательными степенями величины 
в высших приближениях появляются и все более высокие степени потенциала 
Если теперь подставить выражения (96.12) в формулу (96.7) для 
то величину 
мы можем разложить аналогичным образом. Так как 
пропорционально 
то амплитуду 
можно взять в первом приближении, если нас интересует результат, верный лишь с точностью до членов 
включительно.
Таким образом, имеем 
После очевидной перегруппировки членов, имеющих порядок 
окончательному результату можно придать одну из следующих форм:
или
Это есть приближение второго порядка для фазы рассеяния.
Замечание. Данный метод можно применять к парциальным волнам с 
Единственное отличие состоит в том, что тригонометрические функции 
придется заменить на сферические функции Бесселя 
