Задача 100. Второе приближение к уравнению Калоджеро
Связать процедуру линеаризации уравнения Калоджеро с методом последовательных приближений и на этой основе вычислить во втором приближении длину рассеяния потенциала, рассмотренного в предыдущей задаче.
Решение. Если точное уравнение
заменить цепочкой уравнений
то в первом приближении мы снова получим линейное уравнение
решенное нами в задаче 98. Каждое последующее приближение получается из предыдущего путем решения линейного уравнения в квадратурах, только в разных случаях приходится иметь дело
с различными неоднородностями:
Таким образом, чтобы найти второе приближение, нам достаточно в подынтегральное выражение для линеаризованного решения ввести дополнительный множитель
Что же касается длины рассеяния, то здесь можно добиться еще больших упрощений. Введем "интерполированную" длину рассеяния 
определив ее соотношением
В первом приближении имеем
Отсюда для длины рассеяния во втором приближении 
получаем
Соотношения (100.7) и (100.8) теперь можно использовать для вычисления длины рассеяния потенциала
рассмотренного в предыдущей задаче. Вводя обозначения
получаем
Последнее выражение после замены
принимает вид
Подставляя его теперь в формулу (100.8), получаем 
Если в фигурных скобках оставить только первый член, то это, разумеется, даст нам формулу первого приближения (99.11). Что касается поправки
то для нее из (100.13) легко получается выражение вида
Этот интеграл сходится, и его в общем случае можно вычислить численным интегрированием.
Имеются два случая, а именно 
когда оценка интеграла особенно проста. Если 
или 
имеем
или
Численное интегрирование по методу Симпсона и использование в области 
вместо функции ошибок ее асимптотического выражения приводят к значению 
Как мы видели (см. стр. 272), в первом приближении
когда 
поэтому во втором приближении получаем
Таким образом, ошибка, составляющая в первом приближении 11,4%, теперь будет равна 4,6%.
В случае 
или 
сходимость метода несколько хуже. Выражение (100.15) в этом случае дает
и так как
то
