Задача 11. Гамильтониан, зависящий от времени

Пусть оператор из предыдущей задачи зависит явно от времени (например, вследствие действия на систему переменного электрического поля). Требуется найти унитарный оператор этом более общем случае.

Решение. В случае гамильтониана в нашем распоряжении все еще имеется уравнение Шредингера

Переход к картине Гейзенберга осуществляется теперь с помощью унитарного оператора

который подчиняется дифференциальному уравнению

с начальным условием

Положим для простоты

тогда решением уравнения

с начальным условием (11.4) будет бесконечный ряд

В этом легко удостовериться, почленно дифференцируя ряд (11.6):

Следует заметить, что в этих интегралах так что сомножители , взятые в различные моменты времени, образуют упорядоченное во времени произведение, причем сомножители, относящиеся к более поздним моментам времени, всегда стоят перед сомножителями, относящимися к более ранним моментам времени.