Задача 60. Решения, близкие к собственным функциям
Дана потенциальная яма радиусом а с характеристическим безразмерным параметром
где 
глубина ямы. Построить графики волновых функций для 
волновое число внутри ямы). Эти значения произведения 
выбраны таким образом, что они лежат довольно близко к наинизшему собственному значению.
Решение. Обозначим посредством
энергетический, параметр вне ямы, тогда волновая функция внутри и вне ямы будет соответственно иметь вид
и
где
— безразмерная радиальная координата с радиусом ямы в каче стве единицы длины.
Фиг. 34. Волновые функции для энергетических уровней, близких к собственному значению гамильтониана.
Нормировка волновой функции выбрана таким образом, чтобы выполнялись начальные условия 
при 
а коэффициенты функции 
определены из условия непрерывности 
на границе ямы в точке 
Для получения собственных значений необходимо потребовать, чтобы коэффициенты при гиперболических функциях в формуле (60.26) удовлетворяли соотношению
которое с учетом равенства (60.1) можно записать в виде
(ср. задачу 25). Для случая 
решение равно
Волновые функции (60.2а) и (60.26) изображены на фиг. 34, здесь же схематически показаны потенциальная яма и соответ
ствующие энергетические уровни. Если выбранное значение энергии 
меньше собственного значения, то длина волны внутри ямы оказывается слишком большой, и уменьшение амплитуды волновой функции на границе ямы недостаточно для того, чтобы заставить ее асимптотически стремиться к нулю — на больших расстояниях волновая функция вновь возрастает. С другой стороны, если выбранное значение энергии 
слишком велико, а следовательно, длина волны внутри ямы слишком мала, то уменьшение амплитуды волновой функции на границе ямы оказывается чрезмерным и она обращается в нуль уже на конечном расстоянии, но в дальнейшем, будучи отрицательной, вновь возрастает по абсолютной величине. Промежуточное значение энергии 
настолько близко расположено к собственному значению (60.5), что волновая функция вне ямы почти точно стремится к нулю. Так как тем не менее эта энергия все-таки немного больше энергии основного уровня, то амплитуда волновой функции на большом расстоянии от ямы становится отрицательной и растет по абсолютной величине — это возрастание отсутствует лишь для того значения произведения 
которое определяется формулой (60.5).
