Задача 22. Рассеяние на симметричном потенциальном барьере
Поток частиц с энергией 
падает на потенциальный барьер 
ограниченный областью 
Предполагается, что потенциал представляет собой четную функцию 
Требуется выразить амплитуды рассеяния вперед и назад через логарифмические производные волновой функции в точках 
Решение. Из условия симметрии (22.1) вытекает важное следствие: при любом значении энергии 
уравнение Шредингера имеет как четное решение
так и нечетное решение
Эти решения, разумеется, линейно независимы, поэтому общее решение можно записать в виде их произвольной линейной комбинации. В интервале 
частные решения 
и в крайнем случае можно определить с помощью численных методов, положив в точке 
и
Конечно, при этом нормировка базисных решений оказывается довольно произвольной. Таким образом, мы можем вычислить
их логарифмические производные в точке 
которые для удобства запишем в безразмерном и не зависящем от их относительной нормировки виде
Логарифмические производные 
в точке 
в силу соотношений (22.2) будут равны 
Решение, отвечающее падающей слева волне с единичной амплитудой, имеет вид
Требование непрерывности 
в точках 
дает четыре условия:
Складывая равенства (22.5а) и (22.5в) и вычитая из равенства (22.56) равенство 
, получаем справа соответственно 
Взяв теперь их отношение, находим
Аналогичная процедура, но с переменой знаков дает
Разрешая уравнения (22.6а) и (22.6б) относительно и полагая для простоты
окончательно получаем следующие выражения для амплитуд:
На основании уравнения непрерывности, следует ожидать, что сумма интенсивностей отраженной и прошедшей волн будет равна интенсивности падающей волны. Действительно, из соотношений (22.8а) и (22.8б) следуют формулы
так что ожидаемое равенство
очевидно, выполняется.
Таким образом, проблема нахождения амплитуд рассеяния вперед и назад свелась к отысканию логарифмических производных (22.3) четной и нечетной волновых функций в точке 
Разумеется, эту последнюю задачу нельзя решить, пока потенциал (22.1) не задан в явном виде.
В противоположность результату задачи 21 равенство 
теперь уже не имеет места. Если
то преобладает рассеяние вперед, в противном случае — рассеяние назад.
