Задача 80. Интерференция падающей и рассеянной волн

В задачах рассеяния на волновую функцию необходимо наложить асимптотическое граничное условие (так называемое

условие излучения Зоммерфельда)

Показать, что на больших расстояниях от рассеивателя оно приводит к суперпозиции падающего и рассеянного потоков без заметной интерференции между ними, и установить соотношение между амплитудой рассеяния и сечением рассеяния.

Решение. К волновой функции, имеющей вид (80.1), можно применить формулу для плотности тока

в которой нормировочная постоянная характеризует интенсивность потока частиц. В сферических координатах оператор градиента имеет компоненты:

Так как функция и не зависит от угла то, очевидно, Для двух других компонент вектора с помощью формулы (80.2) после несложных вычислений получаются выражения

здесь штрих означает производную по Полученные формулы должны выполняться лишь асимптотически поэтому мы можем пренебречь последним членом, который пропорционален по сравнению с плотностью потока рассеянной волны, пропорциональной Что касается интерференционных членов, стоящих в фигурных скобках, то мы оставим только те из них, которые содержат в качестве множителя величину Таким образом, для дальнейшего анализа у нас остаются значительно более простые выражения

В этих формулах первые слагаемые не зависят от Они представляют собой и -компоненты направленного вдоль

оси z вектора плотности тока порожденного плоской волной. Так как есть скорость частицы, то величину следует понимать как плотность падающих частиц. Второе слагаемое в выражении для представляет собой радиальный поток, который мы можем отождествить с плотностью потока рассеянных частиц. При любого рода наблюдениях для получения конечной интенсивности мы должны по необходимости использовать какой-то детектор, который виден из рассеивателя под малым, но обязательно конечным телесным углом Если детектор находится на расстоянии от рассеивателя, то в каждую секунду через его поверхность, равную пройдет и будет зарегистрировано

рассеянных частиц. Разделив этот поток на плотность потока падающих частиц, получим величину

не зависящую от первичной интенсивности и являющуюся, таким образом, характеристикой рассеивающих свойств взаимодействия, вызывающего рассеяние. Это отношение имеет размерность площади и носит название дифференциального сечения рассеяния в телесный угол Отсюда для полного сечения рассеяния получаем

Нам осталось разобрать вопрос об интерференционных членах в формулах (80.36), которые, будучи пропорциональными на первый взгляд играют даже более важную роль, чем члены, отвечающие плотности потока рассеянных частиц. Во всех этих членах имеются сомножители, меняющиеся медленно, и сомножители, меняющиеся быстро при изменении телесного угла. При интегрировании любого из них по малому, но конечному телесному углу медленно меняющиеся сомножители (такие, как можно считать постоянными, так что остается лишь рассмотреть интегралы вида

Если очень велико, то даже при интегрировании по сравнительно небольшому телесному углу изменения аргумента

вызовут большое число осцилляций периодических функций, стоящих под знаком интеграла в (80.7). Следовательно, эти

интегралы практически будут равны нулю (во всяком случае, их вклад не будет пропорционален и поэтому в пределе очень больших мы вправе опустить интерференционные члены и рассматривать потоки от падающей и рассеянной волн как независимые.

В этой связи стоит, пожалуй, отметить, что

где X — длина волны де Бройля, которая обычно имеет порядок атомных (или даже ядерных размеров, т. е., скажем, см. Величина же — это макроскопическое расстояние между частями экспериментальной установки, равное по крайней мере 10 см. Таким образом, величина равна действительно, очень велика.