Задача 56. Построение собственных векторов оператора Lx в абстрактном гильбертовом пространстве

Пусть атомная система находится в состоянии, которое характеризуется определенным орбитальным квантовым числом Требуется построить собственные векторы оператора воспользовавшись для этого методом задачи 31.

Решение. Мы выберем такую гильбертову систему координат, в которой оператор диагонален, т. е. для всех рассматриваемых векторов (в единицах А)

Пусть далее собственный вектор оператора принадлежащий (еще не определенному) собственному значению Подействуем на этот вектор оператором

который удовлетворяет (см. задачу 51) перестановочному соотношению

Тогда, учитывая равенство

получаем

или

Отсюда следует, что вектор является собственным вектором оператора принадлежащим собственному значению Этот вектор пока еще не нормирован, так как скалярное произведение

не равно единице. Из равенства (56.1) и перестановочного соотношения

находим

поэтому

Таким образом, нормированный собственный вектор, принадлежащий собственному значению имеет вид

Эту процедуру можно повторять вплоть до значения Следующий шаг по необходимости приводит к соотношению в результате чего последовательность собственных векторов обрывается, а вектора просто не существует.

Кроме возрастающей последовательности, можно построить убывающую последовательность путем повторного применения эрмитово сопряженного оператора

который удовлетворяет перестановочному соотношению

Действуя оператором на обе части равенства (56.4), получаем

Собственный вектор здесь снова не нормирован, так как

Отсюда следует

С помощью этой формулы можно получать собственные векторы, принадлежащие даже отрицательным собственным значениям вплоть до значений Следующий шаг должен был бы привести к соотношению

так что вектора не существует.

Замечание 1. Из теории Шредингера нам известно, что сферические функции

с точностью до произвольных фазовых множителей представляют собой реализацию рассмотренных выше нормированных гильбертовых векторов. Следовательно, формулы (56.8) и (56.12), опять-таки с точностью до фазового множителя, который обычно выбирают равным идентичны рекуррентным соотношениям для сферических функций:

Замечание 2. В приведенном решении молчаливо предполагалось, что -целое число. Так как при каждом действии операторов число изменяется на ±1, а максимальное и минимальное значения соответственно равны +1 и —1, то разность этих граничных значений, равная , должна быть целым числом. Но это возможно как при целых значениях так и при полуцелых. Таким образом, перестановочные соотношения для компонент момента количества движения в принципе допускают квантование с помощью полуцелых чисел. Такое квантование не возникает при рассмотрении момента

количества движения материальной точки, но это отнюдь не ограничивает возможностей теории. Указанные полуцелые значения появляются в том случае, когда наряду с «орбитальным» моментом в рассмотрение включается спиновый момент частицы.