Задача 7. Построение эрмитова оператора
Найти квантовомеханический оператор, сопоставляемый классическому произведению 
Решение
а. Так как операторы 
некоммутативны и удовлетворяют перестановочному соотношению
которое легко проверяется в координатном представлении, где
то следует ожидать, что классическому произведению 
будет соответствовать каждый оператор вида
Предположим сначала, что постоянная а действительна. Эту постоянную мы должны подобрать таким образом, чтобы для всякого квантового состояния 
среднее значение 
было действительным:
Пользуясь выражением (7.2) для оператора 
перепишем равенство (7.4) в развернутом виде
Отделяя теперь действительную часть от мнимой:
получаем
Второй интеграл в правой части этого равенства действителен. Что же касается первого интеграла, то он чисто мнимый и в силу (7.4) должен исчезнуть. Так как, кроме того,
то это условие можно записать в виде равенства
которое после интегрирования по частям дает
Таким образом, правильной является симметричная комбинация
обеспечивающая эрмитовость оператора Я.
Если перейти к комплексным а, то годным будет любое а вида
где 
произвольное действительное число. В самом деле, в этом случае
и мы только что показали, что среднее значение первого слагаемого действительно, второе же слагаемое благодаря перестановочному соотношению (7.1) дает при усреднении постоянный вклад независимо от выбора квантового состояния. Следовательно, это слагаемое не имеет физического смысла и его можно опустить.
6. Условие эрмитовости оператора с равным успехом можно определить соотношением
или подробнее
Здесь 
- произвольные комплексные функции, выбор которых ограничивается лишь требованием существования интегралов. Для оператора (7.3) при действительном а это дает
или
Изменяя здесь порядок слагаемых, получаем
Взяв теперь интеграл, стоящий слева, по частям, находим
Это, разумеется, дает наш старый результат (7.5), т. е. 
