Задача 114. Полюс Редже
Пусть при данном значении энергии полюс функции 
располагается вблизи физического значения I, например вблизи 
где 
целое число. Какая физическая ситуация описывается этим полюсом, если значение энергии подвергается небольшому изменению?
Решение. Мы будем рассматривать вклад в амплитуду рассеяния от одного-единственного члена суммы (113.6), который, опуская индекс 
можно записать в виде
В этой формуле
а оба действительных числа, 
предполагаются малыми 
Таким образом, имеем
Функцию Лежандра с комплексным индексом 
можно выразить через обычные полиномы Лежандра:
поэтому в рассматриваемом нами случае должно быть
и, следовательно,
До сих пор мы не делали никаких приближений, и вклад полюсного члена учитывался точно. Теперь мы воспользуемся малостью величин 
и г), из-за которой первый сомножитель в знаменателе дроби (114.6) становится при 
очень малой величиной. По этой причине указанный член оказывается значительно больше других членов и в резонансном приближении последние можно не учитывать. Таким образом, имеем
Перейдем теперь к изучению зависимости этого выражения от энергии 
рассеиваемой частицы. Положению полюса в точке 
разумеется, соответствует некоторое определенное действительное значение энергии 
но момент количества движения при этом не является целочисленным и, следовательно, не соответствует никакому реальному физическому состоянию. Если теперь предположить, что состояние, отвечающее физическому целочисленному значению момента количества движения 
располагается вблизи рассматриваемого полюса, то энергия такого состояния будет комплексной величиной — ее действительная часть 
будет близка к 
а мнимая часть мала. Таким образом, можно написать
Согласно соотношению (114.2), это означает, что величины 
рассматриваемые как функции энергии, должны быть связаны равенством
Пусть теперь 
— действительная энергия реального физического состояния и пусть она не слишком отличается от 
тогда можно написать
Подставляя последнее выражение в формулу (114.7), получаем
Такому виду амплитуды рассеяния отвечает типичное резонансное сечение рассеяния Брейта-Вигнера:
Здесь 
имеет смысл резонансной энергии, а 
означает ширину резонансной линии, связанную со средним временем жизни промежуточного резонансного состояния соотношением 
Предположим теперь, что значению энергии 
на траектории Редже соответствует точка, для которой 
равны соответственно 
тогда для значения 
мы имеем
что с учетом соотношений (114.9) и (114.8) дает
Оказывается, что производная 
практически является действительной величиной (см. ниже), и поэтому 
а
причем величина 
может служить мерой ширины резонансной линии.
Замечание. В случае потенциального рассеяния доказать, что производная 
вблизи от резонанса является действительной величиной, можно довольно легко: см. De Alfaro V., Regge Т., Potential Scattering, Amsterdam, 1965, p. 104. (Имеется перевод: де Альфаро В., Редже Т., Потенциальное рассеяние, изд-во "Мир", 1966, стр. 138.- Прим. ред.) Если 
эффективный размер области рассеяния, а 
— скорость рассеиваемых частиц, то, кроме того, можно показать, что 
