Задача 19. Полупроницаемая перегородка

Дополнительно к условиям предыдущей задачи в точке вводится бесконечно узкая и бесконечно высокая полупроницаемая перегородка. Выяснить влияние перегородки на стационарные состояния.

Решение. Полупроницаемую перегородку (фиг. 2), разделяющую всю область на две равные части, можно получить как предельный случай барьера конечной ширины (между точками ) и конечной высоты Для краткости введем обозначения

Кроме двух граничных условий благодаря наличию барьера мы имеем еще четыре граничных условия, так как функции и должны быть непрерывны в точках Удовлетворяя первым двум условиям и беря решение в

Фиг. 2. Потенциальный ящик с полупроницаемой перегородкой.

действительной форме, имеем

Требование непрерывности при теперь дает

После исключения из равенств (19.3а), (19.36) и соответственно остаются два соотношения

Из тождественности их левых частей следует равенство правых частей. Последние же равны в том и только в том случае, если При из равенств (19.3а) и следует, что и мы получаем решения с положительной четностью, если же то и мы получаем решения с отрицательной четностью. Следовательно, как и в предыдущей задаче, стационарные состояния разделяются на два класса, характеризующиеся различными четностями.

Теперь перейдем к пределу так, чтобы но величина

оставалась конечной. Величину будем называть коэффициентом непроницаемости перегородки, так как с ростом она становится все более непроницаемой. При положительной четности соотношение (19.4) после разложения его правой части в ряд дает

При отрицательной четности аналогичным путем получаем

Второй случай проще. Собственные функции обращаются на перегородке в нуль, так что решение имеет вид

Что же касается уравнения (19.6а), то оно позволяет определить собственные значения лишь численно. Исключение представляют только два предельных случая:

1) полностью непроницаемая перегородка когда для собственных значений получается тот же результат, что и в случае уравнения (19.66), т. е.

2) полностью проницаемая перегородка когда

Таким образом, при конечном коэффициенте непроницаемости собственное значение заключено между т. е. уровни с положительной и отрицательной четностями так же, как и в предыдущей задаче, чередуются. Собственные функции можно записать в виде

Их значения при конечны, а на графиках имеются изломы.

В прилагаемой таблице даны численные значения произведения найденные с помощью уравнения (19.6а) для низших состояний при некоторых значениях безразмерного параметра

(см. скан)

Полученные таким образом уровни изображены на фиг. 3, где сплошные линии относятся к состояниям с положительной четностью, а пунктирные — к состояниям с отрицательной. Крайним слева на фиг. 3 показан случай когда перегородка полностью прозрачна, что соответствует ситуации, обрисованной в задаче 18. Чем непрозрачней становится перегородка, т. е. по мере приближения к правому краю фигуры, тем выше

(кликните для просмотра скана)

поднимаются уровни с положительной четностью; уровни же с отрицательной четностью остаются на прежнем месте. Это находит отражение и в поведении четных собственных функций. В качестве примера одна такая функция для показана на фиг. 4 (волновые функции не нормированы). В случае непроницаемой перегородки она при обращается в нуль, и обе части ящика становятся независимыми друг от друга. За исключением знака в левой части ящика эта функция совпадает с первой нечетной собственной функцией, показанной в нижней части фиг. 4; таким образом, в пределе энергетические уровни становятся вырожденными (крайняя правая полоса на фиг. 3).