Задача 29. Дираковская потенциальная гребенка

Дан периодический потенциал, образованный последовательностью -функций Дирака (интервал между соседними особыми точками постоянен и равен а):

Определить зоны разрешенных значений энергии. Решение. Начнем с фундаментальных решений

Если

— решение в интервале ограниченное в смысле задачи 28, то в соседнем интервале будем иметь

Далее при должны выполняться граничные условия

поэтому

и

Уравнения и (29.66) представляют собой однородную систему линейных уравнений относительно — ее детерминант должен обращаться в нуль. Тривиальные преобразования дают

Следовательно, зоны разрешенных значений энергии определяются неравенством

или

а собственные значения энергии равны

На фиг. 15—18 приведены результаты расчетов для случая Функции переменной стоящие в правой и левой частях неравенства (29.9), показаны на фиг. 15. Точки пересечения соответствующих кривых изображены кружками, а интервалы, в которых выполняется неравенство (29.9), отмечены на оси жирными линиями.

Фиг. 15. Графическое определение зонной структуры.

Фиг. 16. Зонная структура в случае дираковской потенциальной гребенки.

Верхним границам зон соответствуют точки, кратные согласно уравнению (29.7), в этих точках Положение зон на энергетической шкале, найденное с помощью фиг. 15, показано на фиг. 16, где разрешенные энергетические зоны заштрихованы. По мере роста энергии разрешенные зоны расширяются, так что энергетический спектр приближается к непрерывному. Тем не менее он никогда полностью не совпадает с ним: даже при самых высоких энергиях всегда имеются запрещенные зоны, примыкающие сверху к точкам На фиг. 17 и 18 показана зависимость энергии (в безразмерных единицах) от переменной для первых трех зон. На фиг. 17 переменная монотонно возрастает от зоны к зоне, а на фиг. 18 ее изменение ограничено интервалом Пунктирная кривая на фиг. 17 представляет собой параболу проходящую через точки, соответствующие верхним границам разрешенных зон.

Все приведенные фигуры относятся к случаю поэтому по ним нельзя судить о влиянии проницаемости стенки на энергетический спектр. Для меньших значений правая часть неравенства (29.9) будет быстрее приближаться к единице, и соответствующая кривая на фиг. 15 будет пересекать косинусоиду в точках, более близких к максимумам последней.

Фиг. 17. Зависимость энергии от переменной для трех первых зон (одномерные зоны Бриллюэна). Пунктирная кривая — парабола, отвечающая энергии свободной частицы.

Фиг. 18. Зависимость энергии от переменной Приведенное представление.

Это, разумеется, означает, что запрещенные зоны станут уже. Так как положения верхних границ разрешенных зон (точки не зависят от то по мере уменьшения этой величины будут смещаться вниз на фиг. 16 лишь одни нижние границы этих зон. При запрещенные зоны исчезают, но при этом исчезает и наш потенциал, и мы приходим к случаю свободного движения, которому соответствует непрерывный спектр. С другой стороны, если то разрешенные зоны вырождаются в дискретные уровни . В этом случае стенки полностью изолируют потенциальные ямы друг от друга и рассматриваемый спектр сводится к спектру задачи 18, только теперь расстояние между стенками равно а, в задаче же 18 оно равнялось 2а.

Литература

(см. скан)