Задача 61. Квадрупольный момент
Для частицы в сферически симметричном поле вычислить квадрупольный момент в случае состояния с определенными значениями квадрата момента и его проекции на ось 
Решение. Волновая функция, описывающая интересующее нас состояние, имеет вид
а тензор квадрупольного момента, согласно определению задачи 54, равен
Мы должны вычислить квантовомеханические средние
Недиагональные компоненты тензора 
зависят от угла 
соответственно как 
в то время как 
от угла 
не зависит, поэтому соответствующие интегралы обращаются в нуль. Для диагональных компонент
![]()
интегрирование по 
дает множитель 
и так как
то интегралы 
можно свести к интегралу 
Вводя сокращенное обозначение
мы, таким образом, имеем
Интеграл в (61.6) легко вычислить, если воспользоваться соотношением
где
Учитывая ортогональность сферических функций, получаем
и элементарное вычисление теперь дает
Мы видим, что квадрупольный момент отсутствует только у 
-состояний 
что является следствием сферической симметрии. Для 
-состояний мы, например, имеем
Состояние с 
соответствующее распределению вытянутой формы, характеризуется положительным значением 
. У состояний с 
компонента 
в 2 раза меньше по величине и отрицательна, что, очевидно, соответствует распределению сплюснутой формы. Это представляется вполне разумным, так как суперпозиция всех трех состояний приводит к сферически симметричной конфигурации (конфигурация замкнутой оболочки). На самом деле эффект замкнутой оболочки имеет место для любых значений 
Суммируя по всем состояниям, относящимся
к данной оболочке, получаем
но сумма, стоящая в правой части этого равенства, равна нулю, так как
