Задача 45. Наклонное падение плоской волны

На прямоугольную потенциальную ступеньку

наклонно падает плоская волна. Найти законы отражения и преломления, а также вычислить интенсивности пучков отраженных и прошедших частиц. Особо рассмотреть случай полного отражения.

Решение. Всюду в дальнейшем будем пользоваться сокращенными обозначениями

Предположим сначала, что т. е. что величина К действительная (сюда автоматически включается случай отрицательных ). В полупространстве решение уравнения Шредингера при стандартной нормировке имеет вид

где волновой вектор падающей волны, соответственно амплитуда и волновой вектор отраженной волны. В полупространстве имеется только прошедшая волна:

с амплитудой и волновым вектором Упомянутые волновые векторы удовлетворяют соотношениям

На поверхности функции и, определяемые формулами (45.2а) и (45.26) и зависящие от переменных у и должны совпадать; то же самое относится и к их производным Отсюда следует, что должны быть равны как их фазы

так и их амплитуды

Фиг. 31. К определению волновых векторов и углов при наклонном падении.

Прежде всего исследуем уравнения (45.4). Последующие рассуждения можно существенно упростить, если выбрать ось z таким образом, чтобы т. е. направить эту ось перпендикулярно плоскости падения. Тогда, согласно уравнениям (45.4), также будут равны нулю, и, следовательно, оба вектора, будут лежать в плоскости На фиг. 31 показано взаимное расположение волновых векторов и определены используемые ниже углы . С учетом этих определений уравнения (45.4) принимают вид

Из них сразу же следует закон отражения, и закон преломления Снеллиуса,

позволяющий тем же путем, что и в оптике, определить показатель преломления:

Теперь из уравнений (45.5) найдем амплитуды и Т:

Найденные амплитуды позволяют вычислить интенсивности пучков, которые мы определим как плотности потоков соответствующих частиц:

В полупространстве в силу формулы (45.2а) имеем

и, следовательно,

или более подробно

По другую сторону потенциальной ступеньки формула (45.26) дает

или более подробно

Из непрерывности плотности потока частиц следует, что компонента должна иметь одно и то же значение по обе стороны плоскости где потенциал претерпевает разрыв:

Используя формулы (45.6а) и (45.7), нетрудно показать, что приведенное выше соотношение действительно является тождеством. Что же касается компоненты то на нее не налагается никаких ограничений подобного рода, если, конечно, не считать, что она не должна зависеть от координаты у. Интересно, однако, отметить, что благодаря интерференции между падающей и отраженной волнами зависит от координаты х. Эта периодическая зависимость от расстояния до потенциальной ступеньки нигде не приводит к изменению знака, так как выражение, стоящее в квадратных скобках в формуле (45.9), осциллирует между значениями но оба они положительны.

Если произвести усреднение по области протяженностью в несколько длин волн, интерференционный член в результате усреднения пропадет и выражения для падающего, отраженного и прошедшего потоков примут соответственно вид

Абсолютные величины этих векторов называют интенсивйостями, а об отношениях говорят, заимствуя терминологию из оптики, как о коэффициентах отражения и прохождения соответственно.

Полное отражение имеет место, когда когда величина К в формуле (45.1) является чисто мнимой:

Уравнения (45.4) остаются в силе и в данном случае, поэтому так что

Следовательно, величина отрицательная, мнимое число. Уравнения (45.5) в рассматриваемом случае принимают вид

Закон отражения остается прежним, а о законе преломления говорить, конечно, не имеет смысла. Что касается амплитуд, то вместо выражений (45.7) теперь имеем выражения

Отсюда следует, что таким образом, интенсивность отраженной волны равна интенсивности падающей волны, что присуще в случае полного отражения волнам любой природы.

Замечание. Решение этой задачи во многом аналогично решению соответствующей оптической задачи. Однако из-за векторной природы световых волн теория отражения и преломления света значительно сложнее простого случая скалярной волны, с которым мы имели дело в нашей задаче. Заметим, что наша формула (45.7) соответствует формуле Френеля для компоненты электрического вектора, перпендикулярной плоскости падения.