Главная > Задачи по квантовой механике. Том 1
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Задача 45. Наклонное падение плоской волны

На прямоугольную потенциальную ступеньку

наклонно падает плоская волна. Найти законы отражения и преломления, а также вычислить интенсивности пучков отраженных и прошедших частиц. Особо рассмотреть случай полного отражения.

Решение. Всюду в дальнейшем будем пользоваться сокращенными обозначениями

Предположим сначала, что т. е. что величина К действительная (сюда автоматически включается случай отрицательных ). В полупространстве решение уравнения Шредингера при стандартной нормировке имеет вид

где волновой вектор падающей волны, соответственно амплитуда и волновой вектор отраженной волны. В полупространстве имеется только прошедшая волна:

с амплитудой и волновым вектором Упомянутые волновые векторы удовлетворяют соотношениям

На поверхности функции и, определяемые формулами (45.2а) и (45.26) и зависящие от переменных у и должны совпадать; то же самое относится и к их производным Отсюда следует, что должны быть равны как их фазы

так и их амплитуды

Фиг. 31. К определению волновых векторов и углов при наклонном падении.

Прежде всего исследуем уравнения (45.4). Последующие рассуждения можно существенно упростить, если выбрать ось z таким образом, чтобы т. е. направить эту ось перпендикулярно плоскости падения. Тогда, согласно уравнениям (45.4), также будут равны нулю, и, следовательно, оба вектора, будут лежать в плоскости На фиг. 31 показано взаимное расположение волновых векторов и определены используемые ниже углы . С учетом этих определений уравнения (45.4) принимают вид

Из них сразу же следует закон отражения, и закон преломления Снеллиуса,

позволяющий тем же путем, что и в оптике, определить показатель преломления:

Теперь из уравнений (45.5) найдем амплитуды и Т:

Найденные амплитуды позволяют вычислить интенсивности пучков, которые мы определим как плотности потоков соответствующих частиц:

В полупространстве в силу формулы (45.2а) имеем

и, следовательно,

или более подробно

По другую сторону потенциальной ступеньки формула (45.26) дает

или более подробно

Из непрерывности плотности потока частиц следует, что компонента должна иметь одно и то же значение по обе стороны плоскости где потенциал претерпевает разрыв:

Используя формулы (45.6а) и (45.7), нетрудно показать, что приведенное выше соотношение действительно является тождеством. Что же касается компоненты то на нее не налагается никаких ограничений подобного рода, если, конечно, не считать, что она не должна зависеть от координаты у. Интересно, однако, отметить, что благодаря интерференции между падающей и отраженной волнами зависит от координаты х. Эта периодическая зависимость от расстояния до потенциальной ступеньки нигде не приводит к изменению знака, так как выражение, стоящее в квадратных скобках в формуле (45.9), осциллирует между значениями но оба они положительны.

Если произвести усреднение по области протяженностью в несколько длин волн, интерференционный член в результате усреднения пропадет и выражения для падающего, отраженного и прошедшего потоков примут соответственно вид

Абсолютные величины этих векторов называют интенсивйостями, а об отношениях говорят, заимствуя терминологию из оптики, как о коэффициентах отражения и прохождения соответственно.

Полное отражение имеет место, когда когда величина К в формуле (45.1) является чисто мнимой:

Уравнения (45.4) остаются в силе и в данном случае, поэтому так что

Следовательно, величина отрицательная, мнимое число. Уравнения (45.5) в рассматриваемом случае принимают вид

Закон отражения остается прежним, а о законе преломления говорить, конечно, не имеет смысла. Что касается амплитуд, то вместо выражений (45.7) теперь имеем выражения

Отсюда следует, что таким образом, интенсивность отраженной волны равна интенсивности падающей волны, что присуще в случае полного отражения волнам любой природы.

Замечание. Решение этой задачи во многом аналогично решению соответствующей оптической задачи. Однако из-за векторной природы световых волн теория отражения и преломления света значительно сложнее простого случая скалярной волны, с которым мы имели дело в нашей задаче. Заметим, что наша формула (45.7) соответствует формуле Френеля для компоненты электрического вектора, перпендикулярной плоскости падения.

1
Оглавление
email@scask.ru