I. Общие принципы

Задача 1. Закон сохранения вероятности

Вероятностная интерпретация условия нормировки

при которой выражение отождествляется с вероятностью обнаружить рассматриваемую частицу в элементе объема с необходимостью приводит к закону сохранения. Найдите этот закон и обсудите возможную интерпретацию полученного результата с точки зрения классических представлений.

Решение. Искомый закон сохранения должен иметь вид уравнения непрерывности

где

— плотность вероятности, -плотность тока вероятности. Поскольку билинейная форма относительно уравнение (1.2) можно получить лишь в результате комбинации двух уравнений Шредингера

с одним и тем же гамильтонианом

в обоих случаях. Таким образом, получаем

Согласно (1.2), левая часть этого соотношения должна записываться в виде дивергенции. Действительно,

поэтому можно для вектора написать

К классической интерпретации полученного результата можно прийти, рассуждая следующим образом. Если умножить обе величины на массу частицы то в результате у нас получатся плотность массы и плотность импульса

тогда уравнение непрерывности естественно интерпретировать как закон сохранения массы. Точно так же, умножив на заряд частицы придем к плотности заряда и к плотности электрического тока

а уравнение (1.2) станет законом сохранения заряда.

Примечательно, что закон сохранения массы и закон сохранения заряда по существу идентичны, так как оба они обусловлены конвекционным током одной и той же частицы.

Выражение для полного импульса шредингеровского поля, полученное из соотношений (1.6) и (1.7),

с помощью интегрирования по частям второго слагаемого можно привести к виду

что находится в согласии с определением (см. задачу 3) среднего значения оператора импульса в квантовом состоянии