Задача 37. Потенциальная ступенька

Определить коэффициент отражения в поле потенциальной ступеньки:

Решение. Рассматриваемый потенциал монотонно возрастает от значения при до значения при при этом наиболее существенное возрастание потенциала происходит на отрезке

Волновая функция, описывающая приходящую слева волну, должна иметь асимптотический вид

Величина и есть искомый коэффициент отражения. Чтобы решить уравнение Шредингера

с потенциалом (37.1), введем вместо х новую переменную

Используя далее обозначения

и учитывая, что

получаем

Это дифференциальное уравнение имеет три особые точки следовательно, его решение выражается через гипергеометрическую функцию. С помощью подстановки

где

уравнение (37.6) после несложных преобразований приводится к гипергеометрическому уравнению Гаусса в стандартной форме:

Сейчас мы покажем, что частное решение этого уравнения

при надлежащем выборе постоянной С как раз удовлетворяет граничным условиям (37.2).

Начнем с предела когда следовательно, решение (37.10) стремится к так что

Теперь необходимо различать две возможности.

а) - действительное число и больше Нуля. В этом случае выражение (37.11) экспоненциально убывает, как и должно быть при Таким образом, получаем

б) - чисто мнимое число. Тогда

С другой стороны, при когда можно применить хорошо известные правила преобразования гипергеометрической функции от аргумента у в гипергеометрическую функцию от аргумента

С учетом равенства это дает

После подстановки

видим, что наше решение по форме будет совпадать с (37.2), если положить

и

Теперь снова необходимо различать две возможности:

а) — чисто мнимое число, - действительное число и больше нуля. Числитель и знаменатель дроби (37.15) представляют собой комплексно сопряженные величины, поэтому

т. е. имеет место полное отражение.

б) - величины чисто мнимые. Теперь только множители являющиеся комплексно сопряженными величинами, не дают вклада в коэффициент отражения Так как далее

то

Теперь можно воспользоваться элементарной формулой

Для коэффициента отражения окончательно получаем

или

где волновые числа соответственно слева и справа от потенциальной ступеньки.

Замечание 1. В предельном случае очень малых а, т. е. в случае кусочно постоянного потенциала со скачком в точке последнее выражение принимает вид

Конечно, в этом случае нет необходимости пользоваться гипергеометрическими функциями, так как теперь граничные условия (37.2) выполняются не асимптотически, а на протяжении всей полупрямой:

(мы рассматриваем лишь физически интересный случай Требование непрерывности и при дает

следовательно,

Заметим, что эти выражения удовлетворяют соотношению

которое вытекает из непрерывности плотности тока вероятности в точке, где потенциал имеет разрыв.

Замечание 2. Новая переменная у, равенство (37.4), вводится для того, чтобы сделать коэффициенты дифференциального уравнения рациональными функциями и тем самым вернуться к классу хорошо изученных дифференциальных уравнений. Этой же цели можно добиться путем другой замены переменных:

Замена переменных (37.4) была выбрана с таким расчетом, чтобы частное решение (37.10) удовлетворяло граничным условиям нашей весьма специальной задачи, что при замене переменных (37.4а) было бы невозможно. Тем не менее весьма поучительно провести все расчеты, пользуясь заменой переменных (37.4а).